Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍..

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2）

【解析】

（1）函數(shù)求導(dǎo)對參數(shù)進(jìn)行討論得到函數(shù)單調(diào)性

（2）對進(jìn)行符號討論，研究單調(diào)性解決恒成立問題；也可分離參數(shù)

不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值可解.

（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

則.

（i）當(dāng)，那時(shí)，

令，得，得，得，得.

又因?yàn)?/span>，所以；令，得；

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；

（ii）當(dāng)，即時(shí)，，

又由，得，所以.即對任意恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.

（2）方法一，由（1）可知，

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.

所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，

最大值為；

②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；

（i）當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值；

（ii）當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；所以函數(shù)在區(qū)間上最大值為；

而最小值需要比較與的大小；

因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)，即，也即時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上的最小值為；

當(dāng)，即時(shí)，，

此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上的最小值為；

當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上的最小值為；

（iii）當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為；

若不等式對任意恒成立，則且.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的區(qū)間上的最小值為，

最大值為；此時(shí)，且，解得；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，

此時(shí)，不符合題意，舍去；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，

最大值為；此時(shí)，且，

解得.但此時(shí)，與前提條件不符合，故無解，舍去；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，此時(shí)最小值，而，不符合題意，舍去.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

方法二 已知.

由，∴，

令，則，

顯然當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

∴.

由，∴，

令，則.

令，顯然在上單調(diào)遞減.

∵，，∴在上必存在一點(diǎn)，使得，

∴當(dāng)時(shí)，，即，∴在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，即，∴在上單調(diào)遞減.

∴在上的最小值只可能在端點(diǎn)處的取得.

∵，，∴.∴.

綜上所述.