如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓E:+=1(a>b>0)的離心率e=,A1,A2分別是橢圓E的左、右兩個頂點(diǎn),圓A2的半徑為a,過點(diǎn)A1作圓A2的切線,切點(diǎn)為P,在x軸的上方交橢圓E于點(diǎn)Q.

(1) 求直線OP的方程;

(2) 求的值;

(3) 設(shè)a為常數(shù),過點(diǎn)O作兩條互相垂直的直線,分別交橢圓E于點(diǎn)B,C,分別交圓A2于點(diǎn)M,N,記OBC和OMN的面積分別為S1,S2,求S1·S2的最大值.


 (1) 連接A2P,則A2P⊥A1P,且A2P=a.

又A1A2=2a,所以∠A1A2P=60°.

所以∠POA2=60°,所以直線OP的方程為y=x.

 (2) 由(1)知,直線A2P的方程為y=-(x-a),A1P的方程為y=(x+a),

聯(lián)立解得xP=.

因?yàn)閑=,即=,所以c2=a2,b2=a2,故橢圓E的方程為+=1.

由解得xQ=-,

所以==.

(3) 不妨設(shè)OM的方程為y=kx(k>0),

聯(lián)立方程組

解得B,

所以O(shè)B=a.

用-代替上面的k,得OC=a.

同理可得,OM=,ON=.

所以S1·S2=·OB·OC·OM·ON=a4·.

因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2014/11/13/04/2014111304522195203109.files/image073.gif'>=≤,

當(dāng)且僅當(dāng)k=1時等號成立,所以S1·S2的最大值為.


練習(xí)冊系列答案
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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)點(diǎn)P為圓C:(x-1)2+y2=4上的任意一點(diǎn),已知點(diǎn)Q(2a,a-3)(a∈R),則線段PQ長度的最小值為　　　　. 

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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若直線l:(t為參數(shù))過橢圓C:(φ為參數(shù))的右頂點(diǎn),求常數(shù)a的值.

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若橢圓+=1的焦點(diǎn)在x軸上,過點(diǎn)作圓x2+y2=1的切線,切點(diǎn)分別為A,B,直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn),則橢圓的方程是　　　　　　. 

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若將函數(shù)f(x)=x5表示為f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…,a5為實(shí)數(shù),則a3=　　　　.

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已知m為實(shí)數(shù),直線l1:mx+y+3=0,l2:(3m-2)x+my+2=0,則“m=1”是 “l(fā)1∥l2”的　　　　　　(填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”)條件.

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設(shè)S＝R，M＝{x|－1<x<}，N＝{x|x≤－1}，P＝{x|x≥}，則P等于(　　)

A．M∩N                                B．M∪N

C．∁S(M∪N)                            D．∁S(M∩N)

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結(jié)合下面的算法：

第一步，輸入x.

第二步，判斷x是否小于0，若是，則輸出x＋2，否則執(zhí)行第三步．

第三步，輸出x－1.

當(dāng)輸入的x的值為－1,0,1時，輸出的結(jié)果分別為(　　)

A．－1,0,1                         B．－1,1,0

C．1，－1,0                        D．0，－1,1

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