設(shè)函數(shù)f(x)=
3
sin(x+
2
3
π)+2sin2
x
2
，x∈R．
（1）求f（x）的值域；
（2）記△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，若f(B)=
1
2
，b=
7
，c=3，求a的值．
分析：（1）利用兩角和差的余弦公式、半角公式化簡函數(shù)f（x）的解析式為cos（x+
π
3
）+1，由此求得它的值域．
（2）△ABC中，若f(B)=
1
2
，b=
7
，c=3，則得 B=
π
3
．由余弦定理可求得a的值．
解答：解：（1）函數(shù) f(x)=
3
sin(x+
2
3
π)+2sin2
x
2
=
3
sinxcos
2π
3
+
3
cosxsin
2π
3
+2×
1-cosx
2
=
1
2
cosx-
3
2
sinx=cos（x+
π
3
）+1，
由于 cos（x+
π
3
）∈[-1，1]，∴cos（x+
π
3
）+1∈[0，2]，
故函數(shù)的值域為[0，2]．
（2）△ABC中，若f(B)=
1
2
，b=
7
，c=3，則得 cos（B+
π
3
）=-
1
2
，故 B=
π
3
．
由余弦定理可得 b2=a2+c2-2ac•cosB，化簡可得a2-3a+2=0，解得a=1，或a=2．
點評：本題主要考查兩角和差的余弦公式、半角公式的應(yīng)用，余弦函數(shù)的定義域和值域，余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=3sin(ωx+
π
6
)，（ω＞0），x∈（-∞，+∞），且以
π
2
為最小正周期．
（1）求f（0）；
（2）求f（x）的解析式；
（3）已知f(
α
4
+
π
12
)=
9
5
，求sinαtanα的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=3sin(2x-
π
3
)的圖象為C，給出下列命題：
①圖象C關(guān)于直線x=
11
12
π對稱；
②函數(shù)f（x）在區(qū)間(-
π
12
，
5π
12
)內(nèi)是增函數(shù)；
③函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
④圖象C關(guān)于點(
π
3
，0)對稱．
⑤|f（x）|的周期為π
其中，正確命題的編號是
①②
①②
．（寫出所有正確命題的編號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•許昌二模）在一次人才招聘會上，有A、B、C三種不同的技工面向社會招聘．已知某技術(shù)人員應(yīng)聘A、B、C三種技工被錄用的概率分別是0.8、0.5、0.2 （允許受聘人員同時被多種技工錄用）．
（I）求該技術(shù)人員被錄用的概率；
（Ⅱ）設(shè)X表示該技術(shù)人員被錄用的工種數(shù)與未被錄用的工種數(shù)的積．
i） 求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
ii）“設(shè)函數(shù)f(x)=3sin
(x+X)4
π，x∈R是偶函數(shù)”為事件D，求事件D發(fā)生的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=3sin(ωx+
π
6
)，ω＞0，x∈（-∞，+∞），且以
π
2
為最小正周期．
（1）求f（0）；
（2）求f（x）的解析式；
（3）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，已知f（A）=-3，b=1，△ABC的面積為
3
2
  ，求
b+c
sinB+sinC
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
3
sin(2x+
π
6
)（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的最小值，并求使f（x）取得最小值的x的集合；
（Ⅱ）是否可以由函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過平移變換得到一個偶函數(shù)的圖象？若可以，說明怎樣變換得到；若不可以，說明理由．

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