已知a∈R，函數(shù)f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù))．

(1)當a＝2時，求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間；

(2)若函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調遞增，求a的取值范圍．

 (1)當a＝2時，f(x)＝(－x2＋2x)ex，

∴f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex.

令f′(x)＞0，即(－x2＋2)ex＞0，

∵ex＞0，∴－x2＋2＞0，解得－＜x＜.

∴函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間是(－，)．

(2)∵函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調遞增，

∴f′(x)≥0對x∈(－1,1)都成立．

∵f′(x)＝(－2x＋a)ex＋(－x2＋ax)ex

＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，

∴[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0對x∈(－1,1)都成立．

∵ex＞0，

∴－x2＋(a－2)x＋a≥0對x∈(－1,1)都成立．

即a≥＝＝x＋1－對x∈(－1,1)都成立．

令y＝x＋1－，則y′＝1＋＞0，

∴y＝x＋1－在(－1,1)上單調遞增，

∴y＜1＋1－＝，∴a≥.

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a∈R，函數(shù)f(x)=
1
12
x3+
a+1
2
x2+(4a+1)x．
（Ⅰ）如果函數(shù)g（x）=f′（x）是偶函數(shù)，求f（x）的極大值和極小值；
（Ⅱ）如果函數(shù)f（x）是（-∞，?+∞）上的單調函數(shù)，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a∈R，函數(shù)f（x）=ln（x+1）-x2+ax+2．
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）令a=-1，b∈R，已知函數(shù)g（x）=b+2bx-x2．若對任意x1∈（-1，+∞），總存在x2∈[-1，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，求實數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a∈R，函數(shù)f(x)=
a
x
+lnx-1，g(x)=(lnx-1)
e
x
 
+x（其中e為自然對數(shù)的底）．
（1）當a＞0時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值；
（2）是否存在實數(shù)x0∈（0，e]，使曲線y=g（x）在點x=x0處的切線與y軸垂直？若存在求出x0的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•太原一模）已知a∈R，函數(shù) f（x）=x3+ax2+（a-3）x的導函數(shù)是偶函數(shù)，則曲線y=f（x）在原點處的切線方程為
3x+y=0
3x+y=0
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•浙江）已知a∈R，函數(shù)f（x）=x3-3x2+3ax-3a+3．
（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當x∈[0，2]時，求|f（x）|的最大值．

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