Question

4．已知函數(shù)f（x）=2^2x-2^x+1+3．
（1）若x∈[-1，2]，求f（x）的最大值；
（2）求f（x）在[m，0]的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）利用2^2x=（2^x）²，把看似不識(shí)的函數(shù)轉(zhuǎn)化為f（x）=h（t）=t²-2t+3=（t-1）²+2．再利用的二次函數(shù)求解．
（2）若x∈[m，0]，即m≤0時(shí)，則t∈[2^m，2]，結(jié)合函數(shù)h（t）的圖象可知，∴f（x）_min=h（1）=2，f（x）_max=h（2^m）=2^2m-2 ^m+1+3．

解答 解：∵f（x）=2^2x-2•2^x+3，令2^x=t，所以f（x）=h（t）=t²-2t+3=（t-1）²+2．
（1）若x∈[-1，2]，則$t∈[{\frac{1}{2}，4}]$，當(dāng)t=4時(shí)，h（t）_max=h（4）=11．
（2）若x∈[m，0]，即m≤0時(shí)，則t∈[2^m，1]，當(dāng)0＜2^m≤1，結(jié)合函數(shù)h（t）的圖象可知，h（t）在[2^m，]1上遞減，
∴f（x）_min=h（1）=2，f（x）_max=h（2^m）=2^2m-2 ^m+1+3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，問(wèn)題的關(guān)鍵是能否把我們不熟悉的函數(shù)轉(zhuǎn)化為我們熟悉的二次函數(shù)．而且采用換元法轉(zhuǎn)化函數(shù)的時(shí)候，一定要注意換元后變量的范圍．