Question

4．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1-a_n-2n-2=0（n∈N^*），則數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=n²+n．

Answer 1

分析 通過a_n+1-a_n-2n-2=0可知a_n+1-a_n=2（n+1），進而可知a_n-a_n-1=2n（n∈N^*），利用累加法計算即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n+1-a_n-2n-2=0（n∈N^*），
∴a_n+1-a_n=2（n+1）（n∈N^*），
∴a_n-a_n-1=2n（n∈N^*），
∴a_n-1-a_n-2=2（n-1），a_n-2-a_n-3=2（n-2），…，a₂-a₁=2×2，
累加得：a_n-a₁=2（2+3+…+n）=$2•\frac{（n-1）（n+2）}{2}$=（n-1）（n+2），
又∵a₁=2，
∴a_n=2+（n-1）（n+2）=n²+n，
故答案為：n²+n．

點評 本題考查數(shù)列的通項，利用累加法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．