Question

如圖，橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)為A，B，O為橢圓的中心，F為橢圓的右焦點(diǎn)，且，.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)記橢圓的上頂點(diǎn)為M，直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在直線l，使點(diǎn)F恰為△PQM的垂心，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

解　(1)設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>b>0)，則c＝1，

又∵＝(a＋c)·(a－c)＝a²－c²＝1.

∴a²＝2，b²＝1.

故橢圓的方程為＋y²＝1.

(2)假設(shè)存在直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且F恰為△PQM的垂心，設(shè)P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，

∵M(0,1)，F(1,0)，∴直線l的斜率k＝1.

于是設(shè)直線l為y＝x＋m，由

得3x²＋4mx＋2m²－2＝0，

x₁＋x₂＝－m，①

x₁x₂＝.②

又y_i＝x_i＋m(i＝1,2)，

∴x₁(x₂－1)＋(x₂＋m)(x₁＋m－1)＝0，

即2x₁x₂＋(x₁＋x₂)(m－1)＋m²－m＝0.

將①②代入得

解得m＝－或m＝1，經(jīng)檢驗(yàn)m＝－符合條件．

故存在直線l，使點(diǎn)F恰為△PQM的垂心，直線l的方程為y＝x－.