Question

16．已知數(shù)列{a_n}的首項為a₁=5，前n項和為S_n，且S_n+1=2S_n+n+5，求{a_n}通項公式．

Answer 1

分析 由S_n+1=2S_n+n+5可得到S_n=2S_n-1+n+4，然后兩式相減可得到S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）+1，即a_n+1=2a_n+1，再兩邊同時加1可得到a_n+1+1=2（a_n+1），得到數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式得答案．

解答 解：由已知S_n+1=2S_n+n+5，
得n≥2時，S_n=2S_n-1+n+4，
兩式相減，得S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）+1，
即a_n+1=2a_n+1，從而a_n+1+1=2（a_n+1）．
又a₁+1=5+1=6≠0，
即{a_n+1}是以a₁+1=6為首項，2為公比的等比數(shù)列．
則${a}_{n}+1=6•{2}^{n-1}=3•{2}^{n}$，
∴${a}_{n}=3•{2}^{n}-1$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，考查了等比數(shù)列的通項公式，是中檔題．