Question

已知f（x）=x|x-a|-2，若當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，恒有f（x）＜0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=-2，此時(shí)滿足條件，當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）＜0可轉(zhuǎn)化為x-

2

x

＜a＜x+

2

x

，構(gòu)造函數(shù) g(x)=x-

2

x

，(x∈(0，1])；h(x)=x+

2

x

(x∈(0，1])，利用導(dǎo)數(shù)法求出兩個(gè)函數(shù)的最值，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：①當(dāng)x=0時(shí)，顯然f（x）＜0成立，此時(shí)，a∈R
②當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，由f（x）＜0，可得x-

2

x

＜a＜x+

2

x

，
令 g(x)=x-

2

x

，(x∈(0，1])；h(x)=x+

2

x

(x∈(0，1])
∵g′(x)=1+

2

x2

＞0恒成立，
∴g（x）是單調(diào)遞增，可知[g（x）]_max=g（1）=-1
∵h′(x)=1-

2

x2

＜0恒成立，
∴h（x）是單調(diào)遞減，可知[h（x）]_min=h（1）=3
此時(shí)a的范圍是（-1，3）
綜合①、②得：a的范圍是（-1，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)恒成立問(wèn)題，恒成立問(wèn)題一般要將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，合理構(gòu)造函數(shù)是解答的關(guān)鍵．