Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知分別是橢圓：()的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，且.若橢圓的內(nèi)接四邊形的邊的延長(zhǎng)線交于橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，記直線的斜率分別為，.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若，求的值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）求橢圓定義可知,點(diǎn)代入即可得出結(jié)果;

（2）設(shè)，,因?yàn)?/span>的延長(zhǎng)線交于橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,于是有,將直線與橢圓方程聯(lián)立,結(jié)合韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式可求得,,根據(jù)已知條件化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果.

（1）,∴

點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，代入方程:，∴，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:

（2）設(shè)，

的延長(zhǎng)線交于橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，于是有 ①

②

于是：

代入②可得

同理

又，可得：

∴

法二：（1）由為橢圓的左右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，

∴，∴，∴橢圓

將代入可得

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）設(shè)，由斜率分別為

則直線的方程分別為

將與聯(lián)立，設(shè)

由韋達(dá)定理，

∴

同理可證

則由，得

從而

即

∴，∴

又為的內(nèi)接四邊形，∴，∴