設(shè)函數(shù)(a∈R,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).若存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,則a的取值范圍是( )
A.[1,e]
B.[1,1+e]
C.[e,1+e]
D.[0,1]
【答案】分析:根據(jù)題意,問題轉(zhuǎn)化為“存在b∈[0,1],使f(b)=f-1(b)”,即y=f(x)的圖象與函數(shù)y=f-1(x)的圖象有交點(diǎn),且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)b∈[0,1].由y=f(x)的圖象與y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱,得到函數(shù)y=f(x)的圖象與y=x有交點(diǎn),且交點(diǎn)橫坐標(biāo)b∈[0,1].因此,將方程化簡(jiǎn)整理得ex=x2-x+a,記F(x)=ex,G(x)=x2-x+a,由零點(diǎn)存在性定理建立關(guān)于a的不等式組,解之即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解答:解:由f(f(b))=b,可得f(b)=f-1(b)
其中f-1(x)是函數(shù)f(x)的反函數(shù)
因此命題“存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立”,轉(zhuǎn)化為
“存在b∈[0,1],使f(b)=f-1(b)”,
即y=f(x)的圖象與函數(shù)y=f-1(x)的圖象有交點(diǎn),
且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)b∈[0,1],
∵y=f(x)的圖象與y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱,
∴y=f(x)的圖象與函數(shù)y=f-1(x)的圖象的交點(diǎn)必定在直線y=x上,
由此可得,y=f(x)的圖象與直線y=x有交點(diǎn),且交點(diǎn)橫坐標(biāo)b∈[0,1],
根據(jù),化簡(jiǎn)整理得ex=x2-x+a
記F(x)=ex,G(x)=x2-x+a,在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出它們的圖象,
可得,即,解之得1≤a≤e
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1,e]
故選:A
點(diǎn)評(píng):本題給出含有根號(hào)與指數(shù)式的基本初等函數(shù),在存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立的情況下,求參數(shù)a的取值范圍.著重考查了基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理和互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象特征等知識(shí),屬于中檔題.
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A.[1,e]
B.[e-1-1,1]
C.[1,e+1]
D.[e-1-1,e+1]

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A.  [1,e]       B.   [e1﹣1,1]      C.   [1,e+1]  D.  [e1﹣1,e+1]

 

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(5分)設(shè)函數(shù)(a∈R,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).若存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,則a的取值范圍是( 。

A.  [1,e]       B.   [1,1+e]  C.   [e,1+e]  D.  [0,1]

 

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設(shè)函數(shù)數(shù)學(xué)公式(a∈R,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).若存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,則a的取值范圍是


  1. A.
    [1,e]
  2. B.
    [1,1+e]
  3. C.
    [e,1+e]
  4. D.
    [0,1]

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