【題目】設(shè)橢圓E： （a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)F1、F2 ， 其離心率e= ，且點(diǎn)F2到直線 =1的距離為 ．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P（x0 ， y0）是橢圓E上的一點(diǎn)（x0≥1），過點(diǎn)P作圓（x+1）2+y2=1的兩條切線，切線與y軸交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|的取值范圍．

【答案】
（1）

解：設(shè)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），

依題意有 ， ．

又∵a2=b2+c2，∴c=1，a=2，b= ，

∴橢圓E的方程為： ．


（2）

解：如圖設(shè)圓的切線PM的方程為y=k（x﹣x0）+y0

由圓心（﹣1，0）到PM的距離為1，

|y0﹣k（x0+1）|= （x02+2x0）k2﹣2y0（x0+1）k+y02﹣1=0

令y=k（x﹣x0）+y0中x=0，y=y0﹣kx0

∴A（0，y0﹣kx0）．

設(shè)圓的切線PN的方程為y=k1（x﹣x0）+y0．

同理可得B（0，y0﹣k1x0）

依題意k1，k是方程（x02+2x0）k2﹣2y0（x0+1）k+y02﹣1=0的兩個實根，

k1+k= ，k1k=

|AB|2=[x0（k﹣k1）]2= = ．

∵ ，∴|AB|2=1+ =1+

∵1≤x0≤2，∴|AB|2=1+ ．

∴|AB|的取值范圍為[ ]


【解析】（1）設(shè)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），依題意有 ， ．可得c=1，a=2，b= ， （2）如圖設(shè)圓的切線PM的方程為y=k（x﹣x0）+y0 ， 由圓心（﹣1，0）到PM的距離為1，|y0﹣k（x0+1）|= （x02+2x0）k2﹣2y0（x0+1）k+y02﹣1=0，A（0，y0﹣kx0）．設(shè)圓的切線PN的方程為y=k1（x﹣x0）+y0 ， 同理可得B（0，y0﹣k1x0），依題意k1 ， k是方程（x02+2x0）k2﹣2y0（x0+1）k+y02﹣1=0的兩個實根，|AB|2=[x0（k﹣k1）]2= = ．由 ，得|AB|2=1+ =1+ ．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：才能正確解答此題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓心在軸非負(fù)半軸上，半徑為2的圓C與直線相切.

(1)求圓C的方程；

(2)設(shè)不過原點(diǎn)O的直線l與圓O:x2+y2=4相交于不同的兩點(diǎn)A，B.①求△OAB的面積的最大值;②在圓C上，是否存在點(diǎn)M(m，n)，使得直線l的方程為mx+ny=1，且此時△OAB的面積恰好取到①中的最大值?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，交A、B、C所對的邊分別為a，b，c，且c=acosB+bsinA
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=2 ，求△ABC的面積的最值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列選項中，說法正確的是（ ）
A.命題“?x0∈R，x02﹣x0≤0”的否定為“?x∈R，x2﹣x＞0”
B.命題“在△ABC中，A＞30°，則sinA＞ ”的逆否命題為真命題
C.設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，則“q＞1”是“{an}為遞增數(shù)列”的充分必要條件
D.若非零向量 、 滿足| + |=| |+| |，則 與 共線

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．動點(diǎn)P在圓 上，過P作y軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)M在射線NP上，滿足．

（1）求點(diǎn)M的軌跡G的方程；

（2）過點(diǎn)的直線l交軌跡G 于A，B兩點(diǎn)，交圓O于C，D兩點(diǎn)．若，求直線l的方程；

（3）設(shè)點(diǎn)Q(3, t)(t∈R，t ≠ 0)，且，過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線m與OQ交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F，求△OEF周長最大時的直線m的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn＝，且a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列．

（1）求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）記數(shù)列的前n項和為Tn，求證： Tn＜1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若函數(shù)在處的切線與直線平行，求實數(shù)的值；

（2）試討論函數(shù)在區(qū)間上最大值；

（3）若時，函數(shù)恰有兩個零點(diǎn)，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣2ax（其中a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若f（x）≤1恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=f（x）+ x2 ， 且函數(shù)g（x）有極大值點(diǎn)x0 ， 求證：x0f（x0）+1+ax02＞0．

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【題目】已知圓C經(jīng)過原點(diǎn)O（0，0）且與直線y=2x﹣8相切于點(diǎn)P（4，0）．

（1）求圓C的方程；

（2）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)（4, 5），且與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，若|MN|=2，求出直線l的方程．

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