Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，O為坐標原點．動點P在圓 上，過P作y軸的垂線，垂足為N，點M在射線NP上，滿足．

（1）求點M的軌跡G的方程；

（2）過點的直線l交軌跡G 于A，B兩點，交圓O于C，D兩點．若，求直線l的方程；

（3）設點Q(3, t)(t∈R，t ≠ 0)，且，過點P且垂直于OQ的直線m與OQ交于點E，與x軸交于點F，求△OEF周長最大時的直線m的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2），，；（3）或

【解析】

（1）設，，利用動點轉移可得軌跡的方程．

（2）直線的斜率不存在時滿足，當直線的斜率存在時，可設，分別聯(lián)立直線方程與橢圓方程和圓的方程，利用結合韋達定理計算后可得直線方程．

（3）設，由及點在圓上可以得到，從而，因此為直角三角形，故當為等腰直角三角形時周長最大，此時，故可求得直線的方程．

（1）設，，，由得，即．

∵在圓上，∴，∴為軌跡的方程．

（2）①直線的斜率不存在時，直線，由橢圓，圓的對稱性，有， ∴合題意．

②直線的斜率存在時，

設直線，，

由，∴即．

由得，∴，

由得，

∴，由，∴，

∴或，∴直線，．

綜上，直線的方程為：，，．

（3）設動點，由得．

又∵，∴， ①

直線與垂直，直線的斜率為，

直線的方程為，∴ ② ，

由①②得：，∴直線與軸交點為．

又∵，∴是以2為斜邊的直角三角形， ∴時，周長最大，即是等腰直角三角形，，點坐標為或，

∴直線的方程是或．