Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

3

，右焦點(diǎn)F也是拋物線y²=4x的焦點(diǎn)．
（1）求橢圓方程；
（2）若直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，若

AF

=2

FB

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系求出橢圓的右焦點(diǎn)F，得到橢圓的參數(shù)c的值，利用橢圓的離心率公式求出橢圓中的參數(shù)a，根據(jù)橢圓中的三個(gè)參數(shù)的關(guān)系求出b，代入橢圓的方程，求出橢圓方程．
（2）先檢驗(yàn)直線的斜率非零，設(shè)出兩個(gè)交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，由已知的向量關(guān)系得到兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，據(jù)韋達(dá)定理得到兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，聯(lián)立幾個(gè)關(guān)于坐標(biāo)的等式，求出m的值即得到直線的方程．

解答：解：（1）根據(jù)F（1，0），即c=1，
據(jù)

c

a

=

3

3

得a=

3

，
故b=

2

，
所以所求的橢圓方程是

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，檢驗(yàn)知

AF

≠2

FB

．
設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
根據(jù)

AF

=2

FB

得（1-x₁，-y₁）=2（x₂-1，y₂）得y₁=-2y₂．
設(shè)直線l：x=my+1，代入橢圓方程得（2m²+3）y²+4my-4=0，
故y1+y2=-

4m

2m2+3

，y1•y2=-

4

2m2+3

，
得y1= -

8m

2m2+3

 ，y2= 

4m

2m2+3

，
代入y1•y2=-

4

2m2+3

得
( -

8m

2m2+3

)(

4m

2m2+3

)= -

4

2m2+3

，即

8m2

2m2+3

 =1，
解得m=±

2

2

，
故直線l的方程是x=±

2

2

y+1．

點(diǎn)評(píng)：求圓錐曲線的方程時(shí)，一般利用待定系數(shù)法；解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，一般采用的方法是將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立得到關(guān)于某個(gè)未知數(shù)的二次方程，利用韋達(dá)定理來(lái)找突破口．