Question

14．對(duì)于函數(shù)f（x）=ae^x+x，若存在實(shí)數(shù)m，n，使得f（x）≥0的解集為[m，n]（m＜n），則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-$\frac{1}{e}$，0）∪（0，+∞）
• B． [-$\frac{1}{e}$）∪（0，+∞）
• C． （-$\frac{1}{e}$，0）
• D． [-$\frac{1}{e}$，0）

Answer 1

分析 將f（x）≥0轉(zhuǎn)化ae^x≥-x，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為a的不等式，求出表達(dá)式的最大值，以及單調(diào)區(qū)間，即可得到a的取值范圍．

解答 解：若f（x）≥0，則ae^x≥-x（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），
轉(zhuǎn)化為a≥$-\frac{x}{{e}^{x}}$，
令y=$-\frac{x}{{e}^{x}}$，
則y′=$\frac{（x-1）}{{e}^{x}}$，
令y′=0，可得x=1，
當(dāng)x＞1時(shí)，y′＞0，函數(shù)y遞增；當(dāng)x＜1時(shí)，y′＜0，函數(shù)y遞減．
則當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)y取得最小值-$\frac{1}{e}$，
由于存在實(shí)數(shù)m、n，使得f（x）≥0的解集為[m，n]，

則由函數(shù)y=$-\frac{x}{{e}^{x}}$的圖象可得a的取值范圍為（-$\frac{1}{e}$，0），
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最值的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與計(jì)算能力．