Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），⊙O：x²+y²=b²，點(diǎn)A、F分別是橢圓C的左頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）若P（-1，

3

），PA是⊙O的切線，求橢圓C的方程；
（2）若

PA

PF

是一個(gè)常數(shù)，求橢圓C的離心率；
（3）當(dāng)b=1時(shí)，過原點(diǎn)且斜率為k的直線交橢圓C于D、E兩點(diǎn)，其中點(diǎn)D在第一象限，它在x軸上的射影為點(diǎn)G，直線EG交橢圓C于另一點(diǎn)H，是否存實(shí)數(shù)a，使得對(duì)任意的k＞0，都有DE⊥DH？若存在，求出a的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用點(diǎn)P（-1，

3

）在圓上，可得b的值，根據(jù)PA是⊙O的切線，可求a的值，從而可得橢圓C的方程；
（2）利用

PA

PF

是一個(gè)常數(shù)，可得當(dāng)點(diǎn)P分別在（±b，0）時(shí)比值相等，即

a-b

b-c

=

a+b

b+c

，由此可求橢圓的離心率；
（3）如若存在，設(shè)橢圓方程，將D，H坐標(biāo)代入，利用點(diǎn)差法，結(jié)合E、G、H三點(diǎn)共線，即k_EH=k_EG，利用DE⊥DH，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）∵點(diǎn)P（-1，

3

）在圓上，∴b²=4
又∵PA是⊙O的切線，∴△OPA為直角三角形，∠POA=60°
∴OA=2OP=2b=4，∴a=4
∴橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

4

=1．…（4分）
（2）∵

PA

PF

是一個(gè)常數(shù)，∴當(dāng)點(diǎn)P分別在（±b，0）時(shí)比值相等，即

a-b

b-c

=

a+b

b+c

，整理可得，b²=ac，
又∵b²=a²-c²，∴a²-c²-ac=0，
同除以a²可得e²+e-1=0，解得離心率e=

5 -1

2

．…（8分）
（3）如若存在，∵b=1，∴設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+y²=1
設(shè)y₁∈（0，1），D（x₁，y₁），H（x₂，y₂），E（-x₁，-y₁），G（x₁，0）
∵D、H都在橢圓C上，∴

x12 a2 +y12=1 x12 a2 +y22=1

，兩式相減得 （x₁²-x₂²）+a²（y₁²-y₂²）=0
由題意可得，D、H在第一象限，且不重合，故（x₁-x₂）（x₁+x₂）≠0
∴

y1-y2

x1-x2

•

y1+y2

x1+x2

=-

1

a2

 （*）
而又因?yàn)镋、G、H三點(diǎn)共線，故k_EH=k_EG，即

y1+y2

x1+x2

=

0-(-y1)

x1-(-x1)

=

y1

2x1

，代入（*）式
可得

y1-y2

x1-x2

•

y1

2x1

=-

1

a2

而DE⊥DH，即為

y1

x1

•

y1-y2

x1-x2

=-1，因此，-

1

2

=-

1

a2

，即a²=2，a=

2

．
從而存在橢圓

x2

2

+y²=1滿足題意．…（18分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的離心率，考查存在性問題的探究，屬于中檔題．