Question

（2013•浙江模擬）如圖，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD為矩形，ADEF為梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2DE=2．
（Ⅰ） 求異面直線EF與BC所成角的大小；
（Ⅱ） 若二面角A-BF-D的平面角的余弦值為

1

3

，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 延長(zhǎng)AD，F(xiàn)E交于Q，根據(jù)異面直線夾角的定義，根據(jù)BC∥AD，得∠AQF是異面直線EF與BC所成的角，解△AQF可得答案．
（II）幾何法：取AF的中點(diǎn)G，過(guò)G作GH⊥BF，垂足為H，連接DH，可證得∠DHG為二面角A-BF-D的平面角，解三角形DGH可得答案．
（II）向量法：以F為原點(diǎn)，AF，F(xiàn)Q所在的直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系Fxyz．求出二面角A-BF-D中兩個(gè)半平面的法向量，進(jìn)而構(gòu)造AB長(zhǎng)的方程，解方程可得答案．

解答：解：（Ⅰ） 延長(zhǎng)AD，F(xiàn)E交于Q．
∵ABCD是矩形，
∴BC∥AD，
∴∠AQF是異面直線EF與BC所成的角．
在梯形ADEF中，由DE∥AF，AF⊥FE，AF=2，DE=1得
∠AQF=30°．
即異面直線EF與BC所成角為30°…（7分）
（Ⅱ） 方法一：
設(shè)AB=x．取AF的中點(diǎn)G．由題意得
DG⊥AF．
∵平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，
∴AB⊥平面ADEF，
∴AB⊥DG．
∴DG⊥平面ABF．
過(guò)G作GH⊥BF，垂足為H，連接DH，則DH⊥BF，
∴∠DHG為二面角A-BF-D的平面角．
在直角△AGD中，AD=2，AG=1，得
DG=

3

．
在直角△BAF中，由

AB

BF

=sin∠AFB=

GH

FG

，得

GH

x

=

1

x2+4

，
∴GH=

x

x2+4

．
在直角△DGH中，DG=

3

，GH=

x

x2+4

，得
DH=2

x2+3 x2+4

．
∵cos∠DHG=

GH

DH

=

1

3

，得x=

2

5

15

，
∴AB=

2

5

15

．…（15分）
方法二：設(shè)AB=x．
以F為原點(diǎn)，AF，F(xiàn)Q所在的直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系Fxyz．則
F（0，0，0），A（-2，0，0），E（0，

3

，0），D（-1，

3

，0），B（-2，0，x），
∴

DF

=（1，-

3

，0），

BF

=（2，0，-x）．
∵EF⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取

n1

=（0，1，0）．
設(shè)

n2

=（x₁，y₁，z₁）為平面BFD的法向量，則

2x1-z1x=0 x1- 3 y1=0

∴可取

n2

=（

3

，1，

2 3

x

）．
∵cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

1

3

，得x=

2

5

15

，
∴AB=

2

5

15

．
…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是異面直線及其所成的角，二面角的平面角及求法，其中（1）的關(guān)鍵是利用平移求出異面直線夾角的幾何角，（2）中幾何的關(guān)鍵是找出二面角的平面角，向量法的關(guān)鍵是構(gòu)造空間坐標(biāo)系，求出二面角A-BF-D中兩個(gè)半平面的法向量