Question

【題目】對于橢圓 ，有如下性質(zhì)：若點 是橢圓上的點，則橢圓在該點處的切線方程為 .利用此結(jié)論解答下列問題.
（Ⅰ）求橢圓 的標準方程；
（Ⅱ）若動點 在直線 上，經(jīng)過點 的直線 與橢圓 相切，切點分別為 .求證直線 必經(jīng)過一定點.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵橢圓 在點 處的切線方程為 ，其斜率為 ，
∴ .又點 在橢圓上，∴ .解得 ， .∴橢圓 的方程為 ；
（Ⅱ）設(shè) ， ， ，則切線 ，切線 .
∵ 都經(jīng)過點 ，∴ ， .即直線 的方程為 .
又 ，∴ ，
即 .
令 得 ∴直線 必經(jīng)過一定點
【解析】(1)根據(jù)橢圓C在點Q處的切線方程，求解出a與b的關(guān)系進而求出橢圓的方程。(2)根據(jù)題中點的坐標求出切線的方程，由點在直線上代入坐標到直線的方程即可求出直線的方程，聯(lián)立直線的方程即可求出MN必經(jīng)的點的坐標。