Question

已知函數(shù)f（x）=-3x+（2-a）lnx（a∈R）
（1）當(dāng)a=-2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及極值；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）=-3x+4lnx定義域?yàn)椋?，+∞）
f′（x）=-1/x^{2_{-3+，令f′（x）＞0得3x}2_{-4x+1＜0?＜x＜1}}
∴f（x）的單調(diào)區(qū)間為（，1），單調(diào)減區(qū)間為（0，）和（1，+∞）
極小值為f（）=2-4ln3極大值為f（1）=-2
（2）f′（x）=-1/x²-3+ f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）
令f′（x）＞0得3x²-（2-a）x+1＜0
△=（2-a）²-12-a²-4a-8 由△≤0得2-2≤a≤2+2
∴當(dāng)2-2≤a≤2+2時(shí) 不等式①無(wú)解 f′（x）≤0恒成立
∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減
令g（x）=3x²-（2-a）x+1 其對(duì)稱(chēng)軸為x=
當(dāng)即a≥2+2g（0）=1＞0
∴f′（x）＜0在（0，+∞）恒成立
∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減
當(dāng)即a＜2-2√3時(shí)
方程 3x²-（2-a）x+1=0的兩根為x₁₂=
則不等式①的解為＜x
∴f（x）在（，）單調(diào)遞增
在（0，）和（，+∞）上單調(diào)遞減
綜上：當(dāng)a≥2-2時(shí)
f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減
當(dāng)a＜2-2√3時(shí)
f（x）在（，）單調(diào)遞增
在（0，）和（，+∞）上單調(diào)遞減
分析：（1）把a(bǔ)代入函數(shù)f（x）再求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求極值
（2）先求導(dǎo)，討論a的取值范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的求導(dǎo)公式，考查利用判別式，解答過(guò)程中注意x的取值范圍，最好在解答過(guò)程中把表格畫(huà)上，屬簡(jiǎn)單題，要會(huì)利用判別式討論a的取值范圍