已知△OFQ的面積為，且．
（1）當(dāng)時(shí)，求向量與的夾角θ的取值范圍；
（2）設(shè)，若以中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x非負(fù)半軸上的雙曲線經(jīng)過點(diǎn)Q，當(dāng)取得最小值時(shí)，求此雙曲線的方程．

【答案】分析：（1）利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義和三角形面積公式，推出tanθ的解析式，再根據(jù)m的范圍，求得tanθ
的范圍，進(jìn)而求得θ的取值范圍．
（2）設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和點(diǎn)Q的坐標(biāo)，有三角形的面積公式求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)（用半焦距表示），用基本不等式求出||最小時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，從而得到雙曲線方程中的待定系數(shù)．
解答：解：（1）由已知得 ，∴tanθ=，
∵＜m＜4，∴1＜tanθ＜4，∴＜θ＜arctan4．
（2）設(shè)雙曲線方程為 -=1，（a＞0，b＞0），不妨設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，n），
n＞0，則=（m-c，n），∵△OFQ的面積為 ||•n=2，∴n=．
又由•=（c，0）•（m-c，n）=c（m-c）=（-1）c2，∴m=，
||==≥，當(dāng)且僅當(dāng)c=4時(shí)，||有最小值，
此時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，），由此可得，解得 ，
故所求的方程為：=1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，三角形的面積公式以及基本不等式的應(yīng)用，用待定系數(shù)法求雙曲線的方程．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知△OFQ的面積為2
6
，且
OF
•
FQ
=m．
（1）當(dāng)
6
＜m＜4
6
時(shí)，求向量
OF
與
FQ
的夾角θ的取值范圍；
（2）設(shè)|
OF
|=c，m=(
6
4
-1)c2，若以中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x非負(fù)半軸上的雙曲線經(jīng)過點(diǎn)Q，當(dāng)|
OQ
|取得最小值時(shí)，求此雙曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知△OFQ的面積為S，且
OF
•
FQ
=1．
（Ⅰ）若
1
2
＜S＜
3
2
，求＜
OF
，
FQ
＞的范圍；
（Ⅱ）設(shè)|
OF
|=c(c≥2)，S=
3
4
c.若以O(shè)為中心，F(xiàn)為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)Q，以c為變量，當(dāng)|
OQ
|取最小值時(shí)，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△OFQ的面積為2
6
，且
OF
•
FQ
=m，?
（1）設(shè)
6
＜m＜4
6
，求向量
OF
與
FQ
的夾角θ的取值范圍；?
（2）設(shè)以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過點(diǎn)Q（如圖），|
OF
|=c，m=（
6
4
-1）c2，當(dāng)|
OQ
|取最小值時(shí)，求此雙曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△OFQ的面積為2
6
，且
OF
•
FQ
=m．
（1）設(shè)
6
＜m＜4
6
，求向量
OF
與
FQ
的夾角θ正切值的取值范圍；
（2）設(shè)以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過點(diǎn)Q（如圖），|
OF
|=c，m=(
6
4
-1)c2，當(dāng)|
OQ
|取得最小值時(shí)，求此雙曲線的方程．
（3）設(shè)F1為（2）中所求雙曲線的左焦點(diǎn)，若A、B分別為此雙曲線漸近線l1、l2上的動(dòng)點(diǎn)，且2|AB|=5|F1F|，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•天津一模）已知△OFQ的面積為2
6
，且
OF
•
FQ
=m．
（1）設(shè)4
2
＜m＜4
6
，求向量
OF
•
FQ
夾角θ的取值范圍；
（2）設(shè)以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過點(diǎn)Q（如圖），若|
OF
|=c，m=(
6
4
-1)c2，當(dāng)|
OQ
|取最小值時(shí)，求此雙曲線的方程．

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同步練習(xí)冊(cè)答案