Question

6．已知函數(shù)f（x）=-3x²+（6-a）ax+b．
（1）若a=1時(shí)，f（x）＜0在R上恒成立，求b的取值范圍；
（2）若不等式f（x）＞0的解集是{x|1＜x＜2}，求a、b的值．

Answer 1

分析 （1）把a(bǔ)=1代入二次不等式，由f（x）＜0在R上恒成立，可得二次不等式所對(duì)應(yīng)二次方程的判別式小于0，由此求得b的取值范圍；
（2）直接利用二次不等式的解集為{x|1＜x＜2}，得方程-3x²+（6-a）ax+b=0的兩根分別為1，2．然后由根與系數(shù)的關(guān)系列式求得a、b的值．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=-3x²+5x+b，
由f（x）＜0在R上恒成立，得-3x²+5x+b＜0恒成立，
則△=5²-4×（-3）b＜0，即b$＜-\frac{25}{12}$；
（2）不等式f（x）＞0的解集是{x|1＜x＜2}，
即-3x²+（6-a）ax+b＞0的解集是{x|1＜x＜2}，
也就是方程-3x²+（6-a）ax+b=0的兩根分別為1，2．
則$\left\{\begin{array}{l}{1+2=\frac{6-a}{3}}\\{1×2=-\frac{3}}\end{array}\right.$，解得：a=-3，b=-9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查利用“三個(gè)二次”求解參數(shù)的范圍問(wèn)題，考查了二次不等式的解集與二次方程根的關(guān)系，是中檔題．