Question

10．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是短軸長(zhǎng)為6的橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+${\frac{y}{b^2}^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F₁的直線(xiàn)交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，且△ABF₂的周長(zhǎng)為16．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）點(diǎn)P為E上一點(diǎn)，若PF₁=3，求PF₂的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）求得橢圓的a=4，由橢圓的定義可得，|CF₁|+|CF₂|=|DF₁|+|DF₂|=2a，即可得到周長(zhǎng)為4a，計(jì)算即可得到所求；
（2）由橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a=8，計(jì)算即可得到PF₂的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）由題意可得橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+${\frac{y}{b^2}^2}$=1的b=3，
由橢圓的定義可得，|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a，
即有△F₂AB的周長(zhǎng)為|AB|+|AF₂|+|BF₂|
=（|AF₁|+|AF₂|）+（|BF₁|+|BF₂|）=4a=16．解得a=4，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
（2）點(diǎn)P為E上一點(diǎn)，若|PF₁|=3，
由橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a=8，
即有|PF₂|=8-|PF₁|=8-3=5．
則PF₂的長(zhǎng)度為5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義和方程，主要考查定義法的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．