【題目】設(shè)函數(shù)\.
(1)若且在處的切線垂直于y軸,求a的值;
(2)若對于任意,都有恒成立,求a的取值范圍.
【答案】(1)1;(2).
【解析】
(1)先求得的導(dǎo)函數(shù),根據(jù)在處的切線垂直于y軸可知在處的導(dǎo)數(shù)等于0,代入即可求得的值.
(2)根據(jù)任意,都有恒成立,則成立,代入可得.結(jié)合函數(shù)單調(diào)性,使得在上滿足單調(diào)遞增且,即可得的取值范圍.再利用構(gòu)造函數(shù)法,證明在時滿足單調(diào)遞增即可.
(1),則,∴,
∵且在處的切線垂直于y軸,
∴,∴,又
∴
(2)對于任意,都有恒成立,則,所以,
,,,得,所以,即,
下面證明成立,
∴,令,,
∴令,,∴,
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,由,∴,
∴在上單調(diào)遞增,.
當時,,∴,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,
∴成立,
所以對于任意,都有恒成立.
當時,,而在上單調(diào)遞增,
∴存在唯一的,使得,即,,
且時,單調(diào)遞減,時,單調(diào)遞增,
,而,
令,
∴,
令,得或,
或時,單調(diào)遞減,時,單調(diào)遞增,
∴是的極小值,而,∴當時,有小于0的函數(shù)值,也即是有小于0的函數(shù)值,這與對于任意,都有恒成立,相矛盾,∴當時,不滿足題意,
綜上可得,a的取值范圍是.
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【題目】某飛機失聯(lián),經(jīng)衛(wèi)星偵查,其最后出現(xiàn)在小島附近,現(xiàn)派出四艘搜救船,為方便聯(lián)絡(luò),船始終在以小島為圓心,100海里為半徑的圓上,船構(gòu)成正方形編隊展開搜索,小島在正方形編隊外(如圖).設(shè)小島到的距離為,,船到小島的距離為.
(1)請分別求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并分別寫出定義域;
(2)當兩艘船之間的距離是多少時搜救范圍最大(即最大)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當函數(shù)在點處的切線方程為,求函數(shù)的解析式;
(2)在(1)的條件下,若是函數(shù)的零點,且,求的值;
(3)當時,函數(shù)有兩個零點,且,求證:.
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【題目】2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸,我國航天事業(yè)取得又一重大成就,實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系.為解決這個問題,發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”,鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點的軌道運行.點是平衡點,位于地月連線的延長線上.設(shè)地球質(zhì)量為M1,月球質(zhì)量為M2,地月距離為R,點到月球的距離為r,根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律,r滿足方程:
.
設(shè),由于的值很小,因此在近似計算中,則r的近似值為
A. B.
C. D.
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【題目】某品牌餐飲公司準備在10個規(guī)模相當?shù)牡貐^(qū)開設(shè)加盟店,為合理安排各地區(qū)加盟店的個數(shù),先在其中5個地區(qū)試點,得到試點地區(qū)加盟店個數(shù)分別為1,2,3,4,5時,單店日平均營業(yè)額(萬元)的數(shù)據(jù)如下:
加盟店個數(shù)(個) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
單店日平均營業(yè)額(萬元) | 10.9 | 10.2 | 9 | 7.8 | 7.1 |
(1)求單店日平均營業(yè)額(萬元)與所在地區(qū)加盟店個數(shù)(個)的線性回歸方程;
(2)根據(jù)試點調(diào)研結(jié)果,為保證規(guī)模和效益,在其他5個地區(qū),該公司要求同一地區(qū)所有加盟店的日平均營業(yè)額預(yù)計值總和不低于35萬元,求一個地區(qū)開設(shè)加盟店個數(shù)的所有可能取值;
(3)小趙與小王都準備加入該公司的加盟店,根據(jù)公司規(guī)定,他們只能分別從其他五個地區(qū)(加盟店都不少于2個)中隨機選一個地區(qū)加入,求他們選取的地區(qū)相同的概率.
(參考數(shù)據(jù)及公式:,,線性回歸方程,其中,.)
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【題目】某媒體為調(diào)查喜愛娛樂節(jié)目是否與觀眾性別有關(guān),隨機抽取了30名男性和30名女性觀眾,抽查結(jié)果用等高條形圖表示如圖:
(1)根據(jù)該等高條形圖,完成下列列聯(lián)表,并用獨立性檢驗的方法分析,能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為喜歡娛樂節(jié)目與觀眾性別有關(guān)?
(2)從性觀眾中按喜歡節(jié)目與否,用分層抽樣的方法抽取5名做進一步調(diào)查.從這5名中任選2名,求恰有1名喜歡節(jié)目和1名不喜歡節(jié)目的概率.
附:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若定義在R上的函數(shù),其圖像是連續(xù)不斷的,且存在常數(shù)使得對任意實數(shù)x都成立,則稱是一個“k~特征函數(shù)”.則下列結(jié)論中正確命題序號為____________.
①是一個“k~特征函數(shù)”;②不是“k~特征函數(shù)”;
③是常數(shù)函數(shù)中唯一的“k~特征函數(shù)”;④“~特征函數(shù)”至少有一個零點;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),為上的動點,點滿足,點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的直角坐標方程;
(2)在以為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標系中,射線與的異于極點的交點為,與的異于極點的交點為,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(1),在平面四邊形ABCD中,AC是BD的垂直平分線,垂足為E,AB中點為F,,,,沿BD將折起,使C至位置,如圖(2).
(1)求證:;
(2)當平面平面ABD時,求直線與平面所成角的正弦值.
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