Question

17．等差數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，且6S₅-5S₃=5，a₂=1，則S_n的最大值為$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件建立方程關(guān)系求出首項(xiàng)和公差，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵6S₅-5S₃=5，
∴$6×\frac{5（{a}_{1}+{a}_{5}）}{2}$-5×$\frac{3（{a}_{1}+{a}_{3}）}{2}$=5，
即$\frac{6×5×2{a}_{3}}{2}$-$\frac{5×3×2{a}_{2}}{2}$=5，
則30a₃-15a₂=5，
即6a₃-3a₂=1，
∵a₂=1，
∴6a₃=3a₂+1=3+1=4，
則a₃=$\frac{2}{3}$，
公差d=a₃-a₂=$\frac{2}{3}$-1=-$\frac{1}{3}$，
則a_n=a₂+（n-2）d=1-$\frac{1}{3}$（n-2）=-$\frac{1}{3}$n+$\frac{5}{3}$，
由a_n=-$\frac{1}{3}$n+$\frac{5}{3}$≥0得，n≤5，
即當(dāng)n=5時(shí)，a₅=0，
當(dāng)n≥6時(shí)，a_n≤0，
即前4項(xiàng)或前5項(xiàng)S_n最大，
此時(shí)S₅=$\frac{5（{a}_{1}+{a}_{5}）}{2}$=$\frac{5×2{a}_{3}}{2}$=5a₃=5×$\frac{2}{3}$=$\frac{10}{3}$，
故答案為：$\frac{10}{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值的求解，根據(jù)條件求出數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算能力．