已知定義在R上的函數(shù)f(x)和數(shù)列{an}滿足下列條件:a1=a,a2≠a1,當(dāng)n∈N*且n≥2時,an=f(an-1)且f(an)-f(an-1)=k(an-an-1).
其中a、k均為非零常數(shù).
(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,求k的值;
(2)令bn=an+1-an(n∈N*),若b1=1,求數(shù)列{bn}的通項公式;
(3)試研究數(shù)列{an}為等比數(shù)列的條件,并證明你的結(jié)論.
分析:(1)由題意知an=f(an-1),f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,),得an+1-an=f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,),由此可知an-an-1=k(an-an-1),(n=2,3,4,),得k=1.
(2)由b1=a2-a1≠0,知b2=a3-a2=f(a2)-f(a1)=k(a2-a1)≠0.因此bn=an+1-an=f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)═kn-1(a2-a1)≠0,由此可知數(shù)列{bn}是一個公比為k的等比數(shù)列.
(3){an}是等比數(shù)列的充要條件是f(x)=kx(k≠1);先進行充分性證明:若f(x)=kx(k≠1),則{an}是等比數(shù)列.再進行必要性證明:若{an}是等比數(shù)列,f(x)=kx(k≠1).
解答:解:(1)由已知a
n=f(a
n-1),f(a
n)-f(a
n-1)=k(a
n-a
n-1)(n=2,3,4,),得a
n+1-a
n=f(a
n)-f(a
n-1)=k(a
n-a
n-1)(n=2,3,4,)
由數(shù)列{a
n}是等差數(shù)列,得a
n+1-a
n=a
n-a
n-1(n=2,3,4,)
所以,a
n-a
n-1=k(a
n-a
n-1),(n=2,3,4,),得k=1.(5分)
(2)由b
1=a
2-a
1≠0,可得b
2=a
3-a
2=f(a
2)-f(a
1)=k(a
2-a
1)≠0.
且當(dāng)n>2時,b
n=a
n+1-a
n=f(a
n)-f(a
n-1)=k(a
n-a
n-1)═k
n-1(a
2-a
1)≠0
所以,當(dāng)n≥2時,
==
==k,(4分)
因此,數(shù)列{b
n}是一個公比為k的等比數(shù)列.(1分)
(3)解:{a
n}是等比數(shù)列的充要條件是f(x)=kx(k≠1)(2分)
充分性證明:
若f(x)=kx(k≠1),則由已知a
1=a≠0,a
n=f(a
n-1)(n=2,3,4,)得a
n=ka
n-1(n=2,3,4,)
所以,{a
n}是等比數(shù)列.(2分)
必要性證明:若{a
n}是等比數(shù)列,由(2)知,b
n=k
n-1(a
2-a
1)(n∈N
*)b
1+b
2++b
n-1=(a
2-a
1)+(a
2-a
1)++(a
n-a
n-1)=a
n-a
1(n≥2),a
n=a
1+(b
1+b
2++b
n-1).(1分)
當(dāng)k=1時,a
n=a
1+(a
2-a
1)(n-1)(n≥2).
上式對n=1也成立,所以,數(shù)列{a
n}的通項公式為:a
n=a+(f(a)-a)(n-1)(n∈N
*).
所以,當(dāng)k=1時,數(shù)列{a
n}是以a為首項,f(a)-a為公差的等差數(shù)列.
所以,k≠1.(1分)
當(dāng)k≠1時,
an=a1+(a2-a1)(n≥2).
上式對n=1也成立,所以,
an=a+(f(a)-a)=
a+-(1分)
所以,
a+=0?f(a)=ka.(1分)
即,等式f(a)=ka對于任意實數(shù)a均成立.
所以,f(x)=kx(k≠1).(1分)
點評:本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.