Question

4．從6名男同學(xué)和4名女同學(xué)中隨機(jī)選出3名同學(xué)參加一項競技測試，每位同學(xué)通過測試的概率為0.7，試求：
（Ⅰ）選出的三位同學(xué)中至少有一名女同學(xué)的概率；
（Ⅱ）選出的三位同學(xué)中同學(xué)甲被選中并且通過測試的概率；
（Ⅲ）設(shè)選出的三位同學(xué)中男同學(xué)的人數(shù)為ξ，求ξ的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用對立事件概率公式能求出選出的三位同學(xué)中至少有一名女同學(xué)的概率．
（Ⅱ）同學(xué)甲被選中的概率為$\frac{{C}_{9}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=0.3，由此能求出同學(xué)甲被選中且通過測試的概率．
（Ⅲ）根據(jù)題意，ξ的可能取值為0、1、2、3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）至少有一名女同學(xué)的概率為1-$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{5}{6}$…（4分）
（Ⅱ）同學(xué)甲被選中的概率為$\frac{{C}_{9}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=0.3，
則同學(xué)甲被選中且通過測試的概率為0.3×0.7=0.21 …（8分）
（Ⅲ）根據(jù)題意，ξ的可能取值為0、1、2、3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{30}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{2}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{6}$
所以，ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{30}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$

E（ξ）=0×$\frac{1}{30}$+1×$\frac{3}{10}$+2×$\frac{1}{2}$+3×$\frac{1}{6}$=1.8  …（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．