Question

9．設a=${∫}_{0}^{π}$（sinx+cosx）dx，則二項式（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶的展開式的常數項是-160．

Answer 1

分析 求定積分求得a的值，然后寫出二項展開式的通項，由x得指數為0求得r值，代入通項求得常數項．

解答 解：a=${∫}_{0}^{π}$（sinx+cosx）dx=$（-cosx+sinx）{|}_{0}^{π}=-cosπ+sinπ+cos0-sin0$=2．
∴（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶=$（2\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}）^{6}$．
其通項${T}_{r+1}={C}_{6}^{r}•（2\sqrt{x}）^{6-r}•（-\frac{1}{\sqrt{x}}）^{r}$=$（-1）^{r}•{C}_{6}^{r}•{2}^{6-r}•{x}^{3-r}$=$（-1）^{r}•{C}_{6}^{r}•{2}^{6-r}•{x}^{3-r}$．
由3-r=0，得r=3．
∴二項式（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶的展開式的常數項是${T}_{4}=-{2}^{3}•{C}_{6}^{3}=-160$．
故答案為：-160．

點評 本題考查了定積分，考查了二項式定理，關鍵是熟練掌握二項展開式的通項，是基礎題．