Question

如圖，已知三棱錐A-BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB中點，D為PB中點，且△PMB為正三角形．
（1）求證：DM∥平面APC；
（2）求證：BC⊥平面APC．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）要證明線面平行，可以通過線線平行來轉化，然后利用中位線定理，進一步利用線面平行的判定定理進行證明．
（2）要證線面垂直，可以通過線線垂直和線面垂直來轉化，最后利用線面垂直的判定證明結論．

解答：
證明：（1）已知三棱錐A-BPC中
∵M為AB中點，D為PB中點
∴DM∥AP
AP?平面APC，DM?平面APC
∴DM∥平面APC
（2）△PMB為正三角形，D為PB中點
∴DM⊥PB
在平面APB中，DM∥AP
∴AP⊥PB
∵AP⊥PC
∴AP⊥平面PBC
∴AP⊥BC
∵AC⊥BC
∴BC⊥平面APC

點評：本題考查的知識點：線面平行的判定定理，線面垂直的性質定理和判定定理之間的相互轉換．