(本題滿分13分)已知拋物線過點。

（1）求拋物線的標準方程，并求其準線方程；

（2）是否存在平行于(為坐標原點）的直線，使得直線與的距離等于?

若存在，求直線的方程，若不存在，說明理由。

（3）過拋物線的焦點作兩條斜率存在且互相垂直的直線，設與拋物線相交于點，與拋物線相交于點，求的最小值。

 

【答案】

(1) 拋物線的方程為，其準線方程為 (2) 符合題意的直線存在，其方程為 (3) 的最小值為16.

【解析】

試題分析：（1）將帶入，得，所以,

故所求拋物線的方程為，其準線方程為.                   ……2分

（2）假設存在符合題意的直線，其方程為,

由得,                                     ……3分

直線與拋物線有公共點，

解得,                                           ……4分

由直線與的距離可得，解得,                 ……5分

,

符合題意的直線存在，其方程為.                        ……7分

(3)由題意知，直線的斜率存在且不為0，設為，則的方程為,

由，得,

設，則是上述方程的兩個實根,

于是,

因為，所以斜率為，

設，則同理可得。

故==

==

=

=,

當且僅當，即時取最小值.                    ……13分

考點：本小題主要考查雙曲線標準方程的求法和直線與雙曲線的位置關系的應用以及平面向量的坐標運算、基本不等式的應用等，考查學生綜合運用所學知識解決問題的能力和運算求解能力.

點評：直線與圓錐曲線的位置關系問題是高考考查的重點內容，且一般出在壓軸題的位置，難度較大，主要是運算量較大，所以要充分利用數(shù)形結合思想的應用，盡量簡化運算.

 

練習冊系列答案
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（Ⅱ）當時，過點的直線交曲線于兩點，設點關于軸的對稱點為(不重合) 試問：直線與軸的交點是否是定點？若是，求出定點，若不是，請說明理由.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2015屆福建省高一上學期期中考試數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

（本題滿分13分）已知函數(shù)為奇函數(shù)；

（1）求以及m的值；

（2）在給出的直角坐標系中畫出的圖象；

（3）若函數(shù)有三個零點，求實數(shù)k的取值范圍.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年湖南省高三第一次學情摸底考試數(shù)學卷 題型：解答題

（本題滿分13 分）

    已知函數(shù)

   （1）若在的圖象上橫坐標為的點處存在垂直于y 軸的切線，求a 的值；

   （2）若在區(qū)間（-2，3）內有兩個不同的極值點，求a 取值范圍；

   （3）在（1）的條件下，是否存在實數(shù)m，使得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有三個交點，若存在，試出實數(shù)m 的值；若不存在，說明理由．

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆江西省高一第二學期入學考試數(shù)學 題型：解答題

.（本題滿分13分）已知圓C：內有一點P（2，2），過點P作直線

l交圓C于A、B兩點.

(1) 當l經(jīng)過圓心C時，求直線l的方程；

(2) 當弦AB被點P平分時，寫出直線l的方程；

(3) 當直線l的傾斜角為45º時，求弦AB的長.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012屆安徽省六校教育研究會高二素質測試理科數(shù)學 題型：解答題

（本題滿分13分）已知圓C： 

（1）若平面上有兩點A(1 , 0)，B(-1 , 0)，點P是圓C上的動點，求使 取得最小值時點P的坐標.   

(2) 若是軸上的動點，分別切圓于兩點

①若,求直線的方程；

②求證：直線恒過一定點.

 

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