已知點D是△ABC邊BC上的點，
BD
=2
DC
，過D分別作直線交AB，AC于E，F(xiàn)兩點，若
AE
=λ
AB
，
AF
=μ
AC
（λ＞0，μ＞0），則λ+2μ的最小值是
 
．
考點：向量在幾何中的應用,平行向量與共線向量
專題：平面向量及應用
分析：由已知可設
DE
=x
EF
，可得 
AD
=xμ
AC
+(1-x)λ
AB
，以及
AD
=
1
3
AB
+
2
3
AC
，從而可得λ，μ的關系，利用函數(shù)的導數(shù)即可求出最小值．
解答： 解：由D、E、F三點共線，可設
ED
=x
EF

∵
AE
=λ
AB
，
AF
=μ
AC
，（λ＞0，μ＞0），
∴
AD
=
AE
+
ED
=
AE
+x
EF
=
AE
+x（
AF
-
AE
）=x
AF
+（1-x）
AE
=xμ
AC
+(1-x)λ
AB
，
，∵
BD
=2
DC
，∴
AD
=
1
3
AB
+
2
3
AC
，
∴
xμ=
2
3
(1-x)λ=
1
3
∵λ＞0，μ＞0∴x∈（0，1）．
∴
λ=
1
3(1-x)
μ=
2
x

∴λ+2μ=
1
3
(
12
x
+
1
1-x
)．令t=
1
3
(
12
x
+
1
1-x
)，
∴t′=
1
3
(-
12
x2
+
1
(1-x)2
)，令t′=0，解得：x=
12-2
3
11
，
∴當x=
12-2
3
11
時，λ+2μ取得最小值：
1
3
(
12
12-2
3
11
+
1
1-
12-2
3
11
)=5+
8
3
3
．
故答案為：5+
8
3
3
．
點評：本題主要考查了基本不等式在求解函數(shù)的最值中的應用，解題的關鍵是根據(jù)已知向量的知識尋求表達式的關系式是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

一袋中裝有4個形狀、大小完全相同的球，其中黑球2個，白球2個，假設每個小球從袋中被取出的可能性相同，首先由甲取出2個球，并不再將它們放回原袋中，然后由乙取出剩下的2個球，規(guī)定取出一個黑球記1分，取出一個白球記2分，取出球的總積分多者獲勝．
（1）求甲、乙平局的概率；
（2）假設可以選擇取球的先后順序，你選擇先取，還是后取，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某學校對教師的年齡及學歷狀況進行調(diào)查，其結(jié)果（人數(shù)分布）如下表：
學歷 35歲以下 35-50歲 50歲以上
本科 80 30 20
研究生 x 20 y
（Ⅰ）在35-50歲年齡段的教師中用分層抽樣的方法抽取一個容量為5的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至少有1人的學歷為研究生的概率；
（Ⅱ）若對全體教師按年齡狀況用分層抽樣的方法抽取N個人，其中50歲以上的有10人，再從這N個人中隨機抽取出1人，此人的年齡在50歲以上的概率為
5
39
，求N的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若抽取的N個人中35歲以下的有48人，求x和y的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合A={x|-3＜x＜1}，B={x|
x+2
x-3
＜0}．
（Ⅰ）求A∩B，A∪B；
（Ⅱ）在區(qū)間（-4，4）上任取一個實數(shù)x，求“x∈A∩B”的概率；
（Ⅲ）設（a，b）為有序?qū)崝?shù)對，其中a是從集合A中任取的一個整數(shù)，b是從集合B中任取的一個整數(shù)，求“b-a∈A∪B”的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

△ABC中，已知A（4，6），B（-4，0），C（4，0），D為BC上一點，且AD平分∠BAC，則AD所在的直線方程為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，滿足sin2A+sin2B-sinAsinB=sin2C，則∠C=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x）=2x的反函數(shù)為y=f-1（x），g（x）=f-1（1-x）-f-1（1+x），則不等式g（x）＜0的解集是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知sinα=2cosα，則
2sin2α+1
sin2α
的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

復數(shù)
i2+i3+i4
1-i
=（　�。�
A、-
1
2
-
1
2
i
B、-
1
2
+
1
2
i
C、
1
2
-
1
2
i
D、
1
2
+
1
2
i

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