Question

7．已知函數(shù)f（x）=|x-2|-|2x-a|（a∈R）．
（Ⅰ）當a=2時，解不等式f（x）＞0；
（Ⅱ）當x∈（-∞，2）時f（x）＜0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=2時，把f（x）表示成分段函數(shù)的形式，分類討論求得不等式f（x）＞0的解集．
（Ⅱ）分若a=4、若a＞4、若a＜4三種情況，分別求得f（x）的解析式，依據(jù)f（x）＜0恒成立，求得a的范圍，綜合可得結論．

解答 解：（Ⅰ）當a=2時，函數(shù)f（x）=|x-2|-|2x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{x，x＜1}\\{-3x+4，1≤x＜2}\\{-x，x≥2}\end{array}\right.$，
不等式f（x）＞0等價于$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{x＞0}\end{array}\right.$①，或 $\left\{\begin{array}{l}{1≤x＜2}\\{-3x+4＞0}\end{array}\right.$，或 $\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{-x＞0}\end{array}\right.$③，
解①可得0＜x＜1，解②可得1≤x＜$\frac{4}{3}$，解③可得x∈∅．
故要求的不等式的解集為（0，$\frac{4}{3}$）．
（Ⅱ）∵當x∈（-∞，2）時，f（x）＜0恒成立，故f（x）_max＜0．
若a=4，則f（x）=|x-2|-|2x-4|=-|x-2|=x-2，滿足f（x）＜0恒成立．
若a＞4時，f（x）=|x-2|-|2x-a|=2-x-（a-2x）=x+2-a，
故f（x）在（-∞，2）上為增函數(shù)，
故f（x）＜f（2）=4-a＜0，滿足f（x）＜0恒成立．
若a＜4時，f（x）=|x-2|-|2x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{x-a+2，x＜\frac{a}{2}}\\{-3x+a+2，\frac{a}{2}≤x≤2}\\{-x+a-2，x≥2}\end{array}\right.$，
故f（x）在（-∞，$\frac{a}{2}$）上為增函數(shù)，在[$\frac{a}{2}$，2）上為減函數(shù)，
故f（x）的最大值為f（$\frac{a}{2}$）=2-$\frac{a}{2}$＞0，不滿足f（x）＜0恒成立．
故要求的求a的取值范圍[4，+∞）．

點評 本題主要考查分段函數(shù)的應用，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉化、分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．