Question

15．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，P是橢圓上一點(diǎn)，且△PF₁F₂面積的最大值等于2．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線y=2上是否存在點(diǎn)Q，使得從該店向橢圓所引的兩條切線互相垂直？若存在求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)橢圓性質(zhì)列出a，b，c的方程，其中離心率e=$\frac{c}{a}$，分析圖形知道當(dāng)點(diǎn)P在短軸端點(diǎn)時(shí)，△PF1F2 面積取最大值，從而建立關(guān)于a，b，c的方程，解出a²，b²，c²，即求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）對(duì)于存在性問(wèn)題，要先假設(shè)存在，先設(shè)切線y=k（x-m）+2，與橢圓聯(lián)立，利用△=0，得出關(guān)于斜率k的方程，利用兩根之積公式k₁k₂=-1，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵點(diǎn)P在橢圓上，∴-b≤y_p≤b，
∴當(dāng)|y_p|=b時(shí)，△PF₁F₂面積最大，
且最大值為$\frac{1}{2}•2c•b$-bc=2，
又∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a²=4，b²=c²=2，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）假設(shè)直線y=2上存在點(diǎn)Q滿足題意，
設(shè)Q（m，2），當(dāng)m=±2時(shí)，從Q點(diǎn)所引的兩條切線不垂直．
當(dāng)m≠±2時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)Q向橢圓所引的切線的斜率為k，則l的方程為y=k（x-m）+2，
代入橢圓方程，消去y，整理得：（1+2k²）x²-4k（mk-2）x+2（mk-2）²-4=0，
∵△=16k²（mk-2）²-4（1+2k²）[2（mk-2）²-4]=0，
∴（m²-4）k²-4mk+2=0，*
設(shè)兩條切線的斜率分別為k₁，k₂，
則k₁，k₂是方程（m²-4）k²-4mk+2=0的兩個(gè)根，
∴k₁k₂=$\frac{2}{{m}^{2}-4}$=-1，
解得m=±$\sqrt{2}$，點(diǎn)Q坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，2），或（-$\sqrt{2}$，2）．
∴直線y=2上兩點(diǎn)（$\sqrt{2}$，2），（-$\sqrt{2}$，2）滿足題意．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，分類討論要全面．