Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為2，且橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構(gòu)成正三角形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若以k（k≠0）為斜率的直線l與橢圓E相交于兩個不同的點A，B，且線段AB的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為

1

16

，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件得c=1，1=

3

2

•

2b

3

，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+m（k≠0）．點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）的坐標滿足方程組

y=kx+m，① x2 4 + y2 3 =1，②

，整理得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．由此利用根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合已知條件能求出k的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為2，
∴c=1，設(shè)M、N為短軸的兩個三等分點，F(xiàn)為焦點，
∵△MNF為正三角形，
∴|OF|=

3

2

|MN|，
即1=

3

2

•

2b

3

，解得b=

3

．
a²=b²+1=4，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+m（k≠0）．
點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）的坐標滿足方程組

y=kx+m，① x2 4 + y2 3 =1，②

，
將①式代入②式，得3x²+4（kx+m）²=12，
整理得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．
此方程有兩個不等實根，
于是△=（8km）²-4（4k²+3）（4m²-12）＞0．
整理得4k²-m²+3＞0…③，
由根與系數(shù)的關(guān)系，
知線段AB的中點坐標（x₀，y₀）滿足x₀=

x1+x2

2

=

-4km

4k2+3

，
y₀=kx₀+m=

3m

4k2+3

．
從而線段AB的垂直平分線方程為y-

3m

4k2+3

=-

1

k

(x+

4km

4k2+3

)．
此直線與x軸，y軸的交點坐標分別為(

-km

4k2+3

，0)，(0，

-m

4k2+3

)．
由題設(shè)得

1

2

|

-km

4k2+3

|•|

-m

4k2+3

|=

1

16

．
整理得m²=

(4k2+3)2

8|k|

，k≠0．
將上式代入③式得4k²-

(4k2+3)2

8|k|

+3＞0，
整理得（4k²+3）（4k²-8|k|+3）＜0，k≠0．
解得

1

2

＜|k|＜

3

2

．
∴k的取值范圍是(-

3

2

，-

1

2

)∪(

1

2

，

3

2

)．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的合理運用．