Question

已知命題p：f(x)=

1-a•3x

在x∈（-∞，0]上有意義，命題q：函數(shù)y=lg（ax²-x+a）的定義域?yàn)镽．如果p和q有且僅有一個(gè)正確，則a的取值范圍

（-∞，

1

2

]∪（1，+∞）

．

Answer 1

分析：由函數(shù)f(x)=

1-a•3x

在x∈（-∞，0]上有意義可得p；由函數(shù)y=lg（ax²-x+a）的定義域?yàn)镽．可得ax²-x+a＞0恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求q，而p和q有且僅有一個(gè)正確即是①p正確而q不正確，②q正確而p不正確，兩種情況可求a的范圍

解答：解：x∈（-∞，0]時(shí)，3^x∈（0，1]，
∵函數(shù)f(x)=

1-a•3x

在x∈（-∞，0]上有意義，
∴1-a•3^x≥0，∴a≤

1

3x

，
∴a≤1，
即使p正確的a的取值范圍是：a≤1．（2分）
由函數(shù)y=lg（ax²-x+a）的定義域?yàn)镽．可得ax²-x+a＞0恒成立
（1）當(dāng)a=0時(shí)，ax²-x+a=-x不能對(duì)一切實(shí)數(shù)恒大于0．
（2）當(dāng)a≠0時(shí)，由題意可得，△=1-4a²＜0，且a＞0
∴a＞

1

2

．
故q正確：a＞

1

2

．（4分）
①若p正確而q不正確，則

a≤1 a≤ 1 2

，即a≤

1

2

，（6分）
②若q正確而p不正確，則

a＞1 a≤0，或a＞1

，即a＞1，（8分）
故所求的a的取值范圍是：（-∞，

1

2

]∪（1，+∞）．
故答案為：（-∞，

1

2

]∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷和應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意函數(shù)的定義域的合理運(yùn)用．