Question

11．已知函數(shù)f（x）=ln（1+ax）-$\frac{bx}{x+b}$．
（1）當(dāng)a=1，b≥2時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)b=2，a∈（$\frac{3}{4}$，1）時(shí)，若f（x）存在的兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，求f（x₁）+f（x₂）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求得單調(diào)區(qū)間；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，求得極值點(diǎn)，再求極值之和，構(gòu)造當(dāng)0＜t＜1時(shí)，g（t）=2lnt+$\frac{2}{t}$-2，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=$\frac{1}{1+x}$-$\frac{^{2}}{（x+b）^{2}}$=$\frac{x（x+2b-^{2}）}{（1+x）（x+b）^{2}}$，
∵b≥2，∴f′（x）＞0，可得-1＜x＜0或x＞b²-2b；f′（x）＜0，可得0＜x＜b²-2b，
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-1，0），（b²-2b，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（0，b²-2b）；
（2）f（x）=ln（1+ax）-$\frac{2x}{x+2}$（a∈（$\frac{3}{4}$，1）），
f′（x）=$\frac{a{x}^{2}-4（1-a）}{（1+ax）（x+2）^{2}}$，
ax²-4（1-a）=0，解得x=±$\frac{2\sqrt{a（1-a）}}{a}$，
f（x₁）+f（x₂）=ln[1+2$\sqrt{a（1-a）}$]+ln[1-2$\sqrt{a（1-a）}$]-$\frac{4\sqrt{1-a}}{2\sqrt{1-a}+2\sqrt{a}}$-$\frac{-4\sqrt{1-a}}{-2\sqrt{1-a}+2\sqrt{a}}$ 
即f（x₁）+f（x₂）=ln[（1-2a）²]+$\frac{2}{2a-1}$-2                 
設(shè)t=2a-1，當(dāng)$\frac{3}{4}$＜a＜1，$\frac{1}{2}$＜t＜1，則設(shè)f（x₁）+f（x₂）=g（t）=lnt²+$\frac{2}{t}$-2，
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜t＜1時(shí)，g（t）=2lnt+$\frac{2}{t}$-2，g′（t）=$\frac{2（t-1）}{{t}^{2}}$＜0
g（t）在$\frac{1}{2}$＜t＜1上遞減，g（$\frac{1}{2}$）＞g（t）＞g（1）=0，即-2ln2+2＞f（x₁）+f（x₂）＞0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間，同時(shí)考查構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，運(yùn)用單調(diào)性比較大小，屬于中檔題．