Question

若雙曲線上不存在點(diǎn)P使得右焦點(diǎn)F關(guān)于直線OP（O為雙曲線的中心）的對(duì)稱點(diǎn)在y軸上，則該雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：由于雙曲線得對(duì)稱性，只討論第一象限即可．根據(jù)雙曲線方程，設(shè)其上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（，btanθ），其中為θ銳角，求出直線OP方程：y=x．設(shè)右焦點(diǎn)F（c，0）關(guān)于直線OP的對(duì)稱點(diǎn)為Q（x₁，y₁），根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的知識(shí)，列方程組并化簡(jiǎn)消去y₁，可得．因?yàn)椴淮嬖邳c(diǎn)P使得對(duì)稱點(diǎn)Q在y軸上，所以不存在θ，使x₁=0滿足該方程，討論這個(gè)方程解的情況，得，可得c²≤2a²，離心率滿足．得到正確答案．
解答：解：由于雙曲線得對(duì)稱性，只討論第一象限即可．
設(shè)雙曲線位于第一象限內(nèi)一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，btanθ），其中為θ銳角，
∴直線OP的斜率為k==，可得直線OP方程為y=x，
設(shè)右焦點(diǎn)F（c，0）關(guān)于直線OP的對(duì)稱點(diǎn)為Q（x₁，y₁），
∴，消去y₁得：…（*），
接下來(lái)討論方程（*）的根的問(wèn)題，
當(dāng)x₁=0時(shí)，，將此方程進(jìn)行變量分離，得：
∵0＜sin²θ＜1
∴
而根據(jù)題意，不存在點(diǎn)P使得對(duì)稱點(diǎn)Q在y軸上，所以不存在θ，使x₁=0滿足（*）式成立．
綜上所述，可得，即，可得c²≤2a²，離心率
∵雙曲線中，c＞a
∴離心率e＞1，可得．
故選C
點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線上不存在點(diǎn)P使得右焦點(diǎn)F關(guān)于直線OP（O為雙曲線的中心）的對(duì)稱點(diǎn)在y軸上，求雙曲線離心率的取值范圍，著重考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)和點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．