Question

在直三棱柱ABC-A′B′C′中，底面ABC是邊長為2的正三角形，D′是棱A′C′的中點，且AA′=2

2

．
（Ⅰ）試在棱CC′上確定一點M，使A′M⊥平面AB′D′；
（Ⅱ）當點M在棱CC′中點時，求直線AB′與平面A′BM所成角的大�。�

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由直三棱柱的性質得到B'D'⊥平面ACC'A'，進一步得到B'D'⊥A'M，根據線面垂直的判定定理，只要A'M⊥AD'即可；
（2）建立空間直角坐標系，寫出

AB′

，

A′M

，

A′B

的坐標，借助于向量的數量積求線面角的正弦值．

解答： 解：（1）∵直三棱柱ABC-A′B′C′中，底面ABC是邊長為2的正三角形，D′是棱A′C′的中點，
∴B'D'⊥A'C'，
∴B'D'⊥平面ACC'A'，
∴B'D'⊥A'M，
∴在棱CC′上確定一點M，使A′M⊥平面AB′D′，只要過A'作A'M⊥AD'交CC'與點M；
（2）如圖建立空間直角坐標系，

因為直三棱柱ABC-A′B′C′中，底面ABC是邊長為2的正三角形，D′是棱A′C′的中點，且AA′=2

2

．
所以A（0，0，0），B'（

3

，1，2

2

），A'（0，0，2

2

），B（

3

，1，0），
M（0，2，

2

），
所以

AB′

=（

3

，1，2

2

），

A′M

=（0，2，-

2

），

A′B

=（

3

，1，-2

2

），
設平面A'BM的一個法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • A′M =0 n • A′B =0

，即

2y- 2 z=0 3 x+y-2 2 z=0

，令y=1，則

n

=（

3

，1，

2

），
cos＜

n

，

AB′

＞=

n • AB′

|n| | AB′|

=

8

12 6

=

2 2

3

；
所以當點M在棱CC′中點時，直線AB′與平面A′BM所成角的大小為arcsin

2 2

3

．

點評：本題考查了正三棱柱的性質以及線面垂直、線面角的求法，關鍵是正確利用正三棱柱的性質以及借助于空間向量的數量積求線面角的大小，適當建立坐標系，正確寫出所需向量的坐標，屬于中檔題．