Question

 

在如圖所示的幾何體中，四邊形為平行四邊形，

，平面，，

，，．

（Ⅰ）若是線段的中點，求證：平面；

（Ⅱ）若，求二面角的大�。�

幾何法：

 

 

Answer 1

【答案】

 證明：（Ⅰ），可知延長交于點，而，，

則平面平面，即平面平面，

于是三線共點，，若是線段的中點，而,

則，四邊形為平行四邊形，則，又平面，

所以平面；

（Ⅱ）由平面，作，則平面，作，連接，則，于是為二面角的平面角。

若，設，則，，為的中點，，，

，在中,

則，即二面角的大小為。

坐標法：（Ⅰ）證明：由四邊形為平行四邊形， ，平面，可得以點為坐標原點，所在直線分別為建立直角坐標系，

設，則,.

由可得，

由可得,

，則，，而平面，

所以平面；

（Ⅱ）（Ⅱ）若，設，則，

,則,,

,設分別為平面與平面的法向量。

則，令，則，；

，令，則，。

于是，則，

即二面角的大小為。