Question

10．在復(fù)平面中曲線y=x²上有點(diǎn)B₁，B₂，…，B_n，在實(shí)軸上有點(diǎn)A₁，A₂，…，A_n；其中A₁（1，0）…，A_n（x_n，0）…，且x_n≤1，線段A_nB_n（n=1，2，3，…）都與y軸平行，A_n+1B_n斜率為2x_n（n=1，2，3，…）．求：
（1）|$\overrightarrow{{B}_{1}A{\;}_{2}}$+$\overrightarrow{B{\;}_{2}A{\;}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{B}_{n}A{\;}_{n+1}}$|=f（n）的表達(dá)式；
（2）并計(jì)算$\underset{lim}{n→∞}$[f（n）]²．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：x₁=1，${B}_{n}（{x}_{n}，{x}_{n}^{2}）$，A_n+1（x_n+1，0），利用斜率計(jì)算公式可得：A_n+1B_n斜率2x_n=$\frac{{x}_{n}^{2}}{{x}_{n}-{x}_{n+1}}=2{x}_{n}$，化為${x}_{n+1}=\frac{1}{2}{x}_{n}$，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得x_n．于是$\overrightarrow{{B}_{n}{A}_{n+1}}$=$（{x}_{n+1}-{x}_{n}，-{x}_{n}^{2}）$，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得：$\overrightarrow{{B}_{1}A{\;}_{2}}$+$\overrightarrow{B{\;}_{2}A{\;}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{B}_{n}A{\;}_{n+1}}$．
（2）利用數(shù)列極限運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）由題意可得：x₁=1，${B}_{n}（{x}_{n}，{x}_{n}^{2}）$，A_n+1（x_n+1，0），∴A_n+1B_n斜率2x_n=$\frac{{x}_{n}^{2}}{{x}_{n}-{x}_{n+1}}=2{x}_{n}$，化為${x}_{n+1}=\frac{1}{2}{x}_{n}$，
∴數(shù)列{x_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為$\frac{1}{2}$，∴${x}_{n}=（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
$\overrightarrow{{B}_{n}{A}_{n+1}}$=$（{x}_{n+1}-{x}_{n}，-{x}_{n}^{2}）$，
∴$\overrightarrow{{B}_{1}A{\;}_{2}}$+$\overrightarrow{B{\;}_{2}A{\;}_{3}}$+…+$\overrightarrow{{B}_{n}A{\;}_{n+1}}$=$（{x}_{n+1}-{x}_{1}，-{x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}-…-{x}_{n}^{2}）$=$（\frac{1}{{2}^{n}}-1，-\frac{1-\frac{1}{{4}^{n}}}{1-\frac{1}{4}}）$=$（\frac{1}{{2}^{n}}-1，\frac{4}{3}（\frac{1}{{4}^{n}}-1））$，
∴f（n）=$\sqrt{（\frac{1}{{2}^{n}}-1）^{2}+\frac{16}{9}（\frac{1}{{4}^{n}}-1）^{2}}$，
（2）$\underset{lim}{n→∞}$[f（n）]²=1+$\frac{16}{9}$=$\frac{25}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了斜率計(jì)算公式、向量坐標(biāo)運(yùn)算、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、數(shù)列極限的運(yùn)算法則，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．