【題目】已知函數(shù).
(1)若是偶函數(shù),求的值;
(2)設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí),有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,求的取值范圍;
(3)若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,,證明:.
【答案】(1);(2);(3)證明見解析
【解析】
(1)根據(jù)是偶函數(shù),可得,利用恒等,即可求出結(jié)果;
(2)當(dāng)時(shí),有且只有一實(shí)根,可得,然后再利用換元法,設(shè),,轉(zhuǎn)化為,有一實(shí)根,根據(jù)根的分布,即可求出結(jié)果;
(3)設(shè),對(duì)分段函數(shù)的零點(diǎn)分析可得,即,,消除,整理可得,進(jìn)而可得,據(jù)此即可求證結(jié)果.
(1)是偶函數(shù),所以,則.
所以.
(2)當(dāng)時(shí),有且只有一實(shí)根,即,
設(shè),則,
所以,有一實(shí)根,
∵恒成立,兩根之積小于0,所以,
∴.
(3)不妨設(shè),則,
若,與矛盾,
若,與是單調(diào)函數(shù)矛盾,
所以;
所以①,②,
由①,得:,由②,得:;
聯(lián)立①、②消去得:,即,則.
因?yàn)?/span>,所以,即.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一種排卡游戲規(guī)則如下:將寫有的九張卡片隨機(jī)地排成一行,第一張卡片:左起)上的標(biāo)數(shù)為,則將前張卡片逆序排過來稱為一次操作,無法操作時(shí)(即第一張卡片上的標(biāo)數(shù)“1”)游戲停止.若一個(gè)排列無法操作,且恰由唯一的另一個(gè)排列經(jīng)過一次操作得到,則此排列稱為“二次終止排列”.在所有可能的排列中,求二次終止排列出現(xiàn)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著西部大開發(fā)的深入,西南地區(qū)的大學(xué)越來越受到廣大考生的青睞,下表是西南地區(qū)某大學(xué)近五年的錄取平均分高于省一本線分值對(duì)比表:
年份 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
年份代碼 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
錄取平均分高于省一本線分值 | 28 | 34 | 41 | 47 | 50 |
(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)可知,與之間存在線性相關(guān)關(guān)系,求關(guān)于的線性回歸方程;
(2)假設(shè)2020年該省一本線為520分,利用(1)中求出的回歸方程預(yù)測(cè)2020年該大學(xué)錄取平均分.
參考公式:,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是2020年2月1日到2月20日,某地區(qū)新型冠狀病毒疫情新增數(shù)據(jù)的走勢(shì)圖.
(Ⅰ)從這20天中任選1天,求新增確診和新增疑似的人數(shù)都超過100的概率;
(Ⅱ)從新增確診的人數(shù)超過100的日期中任選兩天,用X表示新增確診的人數(shù)超過140的天數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線方程為.
(1)求的解析式;
(2)證明:曲線上任一點(diǎn)處的切線與直線和直線所圍成的三角形的面積為定值,并求此定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,過點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為:(為參數(shù)), 以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線,直線與曲線分別交于兩點(diǎn).
(1)寫出曲線和的普通方程;
(2)若成等比數(shù)列,求值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某造船公司年造船量是20艘,已知造船艘的產(chǎn)值函數(shù)為 (單位:萬元),成本函數(shù)為(單位:萬元),又在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,函數(shù)的邊際函數(shù)定義為.
(1)求利潤(rùn)函數(shù)及邊際利潤(rùn)函數(shù).(提示:利潤(rùn)=產(chǎn)值-成本)
(2)問年造船量安排多少艘時(shí),可使公司造船的年利潤(rùn)最大?
(3)求邊際利潤(rùn)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間,并說明單調(diào)遞減在本題中的實(shí)際意義是什么?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)于兩個(gè)定義域相同的函數(shù)、,若存在實(shí)數(shù),,使則稱函數(shù)是由“基函數(shù)”生成的.
(1)若和生成一個(gè)偶函數(shù),求的值;
(2)若是由和生成,其中,.且求的取值范圍;
(3)利用“基函數(shù),”生成一個(gè)函數(shù),使得滿足:
①是偶函數(shù),②有最小值,求的解析式.
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