Question

【題目】設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

（1）求的解析式；

（2）證明：曲線上任一點(diǎn)處的切線與直線和直線所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析，.

【解析】

（1）將點(diǎn)代入切線方程得出，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由列出有關(guān)、的方程組，解出、，可得出函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)為函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在該點(diǎn)處的切線方程，求出切線與軸和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用三角形的面積來(lái)證明結(jié)論.

（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程得，

，則，直線的斜率為，

于是，解得，故；

（2）設(shè)點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，由（1）知，

，又，

所以，曲線在點(diǎn)的切線方程為，

即，

令，得，從而得出切線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，

聯(lián)立，解得，

從而切線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.

所以，曲線在點(diǎn)處的切線與直線、所圍成的三角形的面積為

故曲線上任一點(diǎn)處的切線與直線，所圍成的三角形的面積為定值且此定值為.