【題目】如圖,在半徑為的半圓形鐵皮上截取一塊矩形材料ABCD(點A、B在直徑上,點C、D在半圓周上),并將其卷成一個以AD為母線的圓柱體罐子的側(cè)面(不計剪裁和拼接損耗),
(1)若要求圓柱體罐子的側(cè)面積最大,應(yīng)如何截?
(2)若要求圓柱體罐子的體積最大,應(yīng)如何截取?
【答案】(1)當(dāng)截取的矩形鐵皮的一邊為為時,圓柱體罐子的側(cè)面積最大.
(2)當(dāng)截取的矩形鐵皮的一邊為為時,圓柱體罐子的體積最大.
【解析】解:(1)如圖,設(shè)圓心為O,連結(jié),設(shè) ,
法一 易得, ,故所求矩形的面積為
()
(當(dāng)且僅當(dāng), ()時等號成立) 此時 ;
法二 設(shè), ; 則, ,
所以矩形的面積為,
當(dāng),即時, ()此時 ;
(2)設(shè)圓柱的底面半徑為,體積為,由得, ,
所以,其中,
由得,此時, 在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減, 故當(dāng) 時,體積最大為 ,
答:(1)當(dāng)截取的矩形鐵皮的一邊為 為時,圓柱體罐子的側(cè)面積最大.
(2)當(dāng)截取的矩形鐵皮的一邊為 為時,圓柱體罐子的體積最大.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)列{bn}(bn>0)的首項為1,且前n項和Sn滿足Sn﹣Sn﹣1= + (n≥2).
(1)求{bn}的通項公式;
(2)若數(shù)列{ }前n項和為Tn , 問Tn> 的最小正整數(shù)n是多少?
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【題目】△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.向量 =(a, b)與 =(cosA,sinB)平行.
(Ⅰ)求A;
(Ⅱ)若a= ,b=2,求△ABC的面積.
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【題目】如圖,一個圓心角為直角的扇形花草房,半徑為1,點是花草房弧上一個動點,不含端點,現(xiàn)打算在扇形內(nèi)種花, ,垂足為, 將扇形分成左右兩部分,在左側(cè)部分三角形為觀賞區(qū),在右側(cè)部分種草,已知種花的單位面積的造價為,種草的單位面積的造價為2,其中為正常數(shù),設(shè),種花的造價與種草的造價的和稱為總造價,不計觀賞區(qū)的造價,總造價為
求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
求當(dāng)為何值時,總造價最小,并求出最小值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對某校高一年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進行統(tǒng)計,隨機抽取名學(xué)生作為樣本,得到這名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
10 | 0.25 | |
25 | ||
2 | 0.05 | |
合計 | 1 |
(1)求出表中及圖中的值;
(2)試估計他們參加社區(qū)服務(wù)的平均次數(shù);
(3)在所取樣本中,從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人,求至少1人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列和滿足若為等比數(shù)列,且
(1)求和;
(2)設(shè),記數(shù)列的前項和為
①求;
②求正整數(shù) k,使得對任意均有.
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【題目】已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點,焦點在x軸上,橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3,離心率 .
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若經(jīng)過左焦點F1且傾斜角為 的直線l與橢圓交于A、B兩點,求|AB|的值.
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【題目】過△ABC所在平面α外一點P,作PO⊥α,垂足為O,連接PA,PB,PC,若點O是△ABC的內(nèi)心,則( )
A.PA=PB=PC
B.點P到AB,BC,AC的距離相等
C.PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA
D.PA,PB,PC與平面α所成的角相等
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一汽車廠生產(chǎn)三類轎車,每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號,某月的產(chǎn)量如下表(單位:輛):
轎車 | 轎車 | 轎車 | |
舒適型 | 100 | 150 | |
標(biāo)準(zhǔn)型 | 300 | 450 | 600 |
按類用分層抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛,其中有類轎車10輛.
(I)求的值;
(II)用分層抽樣的方法在類轎車中抽取一個容量為5的樣本.將該樣本看成一個總體,從中任取2輛,求至少有1輛舒適型轎車的概率;
(III)用隨機抽樣的方法從類舒適型轎車中抽取8輛,經(jīng)檢測它們的得分的值如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2,把這8輛轎車的得分看成一個總體,從中任取一個數(shù),設(shè)樣本平均數(shù)為,求的概率.
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