Question

對于四面體ABCD，下列命題正確的是

 

（寫出所有正確命題的編號）
①相對棱AB與CD所在的直線異面；
②若分別作△ABC和△ABD的邊AB上的高，則這兩條高所在的直線異面；
③分別作三組相對棱中點的連線，所得的三條線段相交于一點；
④最長棱必有某個端點，由它引出的另兩條棱的長度之和大于最長棱．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：空間位置關(guān)系與距離,簡易邏輯

分析：①假設(shè)相對棱AB與CD所在的直線共面，則A，B，C，D四點在同一平面內(nèi)，與四面體ABCD矛盾，說明①正確；
②舉特例說明②錯誤；
③由對應(yīng)邊中點的連線是平行四邊形判斷；
④不妨設(shè)AB為最長棱，分類討論（i）當AC≥BD時，在△ACD中，由三角形的 兩邊之和大于第三邊可得，AD+BD＞AB，可判斷（ii）當AC＜BD時，在△ABC中，由三角形的 兩邊之和大于第三邊可得AC+BC＞AB，可判斷．

解答： 解：①假設(shè)相對棱AB與CD所在的直線共面，則A，B，C，D四點在同一平面內(nèi)，與四面體ABCD矛盾，故①正確；
②當四面體的面ABC和ABD全等時，兩條高所在的直線共面，命題②錯誤；
③對應(yīng)邊中點的連線是平行四邊形對角線的交點，命題③正確；
④不妨設(shè)AB為最長棱，（i）當AC≥BD時，
在△ACD中，由三角形的 兩邊之和大于第三邊可得，AD+BD＞AB，則AD+AC≥AD+BD＞AB；
（ii）當AC＜BD時，在△ABC中，由三角形的 兩邊之和大于第三邊可得AC+BC＞AB，則DB+BC＞BC+AC＞AB．
故④正確．
故答案為：①③④．

點評：本題考查異面直線，三垂線定理，棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查空間想象能力邏輯思維能力，屬于中檔題．