Question

已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a_l=2，a_n+l=2a_n²，n∈N^*．
（I）證明：數(shù)列{1+log₂a_n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

n

1+log2an

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）對(duì)a_n+l=2a_n²，兩邊取以2為底的對(duì)數(shù)得log₂a_n+1=1+2log₂a_n，變形為log₂a_n+1+1=2（log₂a_n+1），利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（II）利用“錯(cuò)位相減法”即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）對(duì)a_n+l=2a_n²，
兩邊取以2為底的對(duì)數(shù)得log₂a_n+1=1+2log₂a_n，
則log₂a_n+1+1=2（log₂a_n+1），
∴{1+log₂a_n}為等比數(shù)列，且log₂a_n+1=（log₂a₁+1）×2^n-1=2ⁿ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b_n=

n

1+log2an

=

n

2n

．
∴S_n=

1

2

+

2

22

+…+

n

2n

，

1

2

S_n=

1

22

+

2

23

+…+

n

2n+1

，
兩式相減得

1

2

S_n=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

，
∴S_n=2-

n+2

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．