Question

【題目】試求出正整數(shù)的最小可能值，使得下述命題成立：對(duì)于任意的個(gè)整數(shù)（允許相等），必定存在相應(yīng)的個(gè)整數(shù)（也允許相等），且，，使得2003能整除.

Answer 1

【答案】7

【解析】

先證明時(shí)，命題成立.為此，考慮和式，其中.

這種和式共有個(gè)，由于，所以，由抽屜原則可知，必有兩個(gè)不同的和式與被2003除所得的余數(shù)相同.

故2003能整除

.

其中，（因?yàn)?/span>、，），且至少有一個(gè)（因?yàn)閿?shù)組）.這時(shí)，取，，即可滿足要求.

故當(dāng)時(shí)，命題成立.

其次，證明時(shí)，命題不成立.為此，我們舉反例.

取，，，，，，

于是，對(duì)于任意的6個(gè)整數(shù)，，，

和式都是3的倍數(shù).

則

.

不妨設(shè)中不為零且下標(biāo)為最大的數(shù)是，即，且，則

.

另外，不妨設(shè)（當(dāng)時(shí)，可考慮.

若，則

.

若，則，.

綜上可知，且，.

顯然2003與3互素.

假若有2003整除，則，為整數(shù)，且.于是，，這與矛盾.因此，當(dāng)取，時(shí)，就不可能有，，，，能使得

.

這個(gè)反例說明：當(dāng)時(shí)，命題不成立.

由上述兩步可知，所求的最小正整數(shù)為7.