Question

【題目】設函數(shù)

（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）當時，方程在區(qū)間內有唯一實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍

Answer 1

【答案】（Ⅰ）單調增區(qū)間為，減區(qū)間為；（Ⅱ）.或

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先確定函數(shù)定義域，再求導函數(shù)，進而求定義區(qū)間上導函數(shù)的零點，最后列表分析導函數(shù)符號：當時，；當時，，確定單調區(qū)間：增區(qū)間為，減區(qū)間為；（Ⅱ）化簡方程得，變量分離得，利用導數(shù)研究函數(shù)單調性變化規(guī)律：在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù).最后結合圖像確定有唯一解的條件：.或

試題解析：（1）依題意，知的定義域為，

當時，，

…………………………………2分

令，解得或（舍去），

當時，；當時，，

所以的單調增區(qū)間為，減區(qū)間為； …………………5分

（2）當時，，

由，得，又，所以，

要使方程在區(qū)間上有唯一實數(shù)解，

只需有唯一實數(shù)解， ………………………7分

令，

∴，

由得； ，得，

∴在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù).

，故 .或……………13分