Question

某市環(huán)保所對(duì)市中心每天環(huán)境污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后，得出一天中環(huán)境綜合污染指數(shù)f（x）與時(shí)間（小時(shí)）的關(guān)系為f（x）=|

1

2

sin（

π

32

x）+

1

3

-a|+2a，x∈[0，24]，其中a為氣象有關(guān)的參數(shù)，且a∈[0，1]，若用每天f（x）的最大值為當(dāng)天的綜合污染指數(shù)，并記作M（a）．
（Ⅰ）令t=

1

2

sin（

π

32

x），x∈[0，24]，求t的取值范圍；并求函數(shù)M（a）關(guān)于a的解析式；
（Ⅱ）為加強(qiáng)對(duì)環(huán)境污染的整治，市政府規(guī)定每天的綜合污染指數(shù)不得超過(guò)2，試問(wèn)目前市中心的綜合污染指數(shù)是否超標(biāo)？

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由x∈[0，24]求得∴

π

32

x的范圍，進(jìn)一步求得sin（

πx

32

）的范圍即為t的范圍；由a的范圍求得-

1

3

≤a-

1

3

≤

1

6

＜

1

2

，然后寫出分段函數(shù)f（t）=|t-（a-

1

3

）|+2a=

-t+3a- 1 3 ，t∈[0，a- 1 3 ] t+a+ 1 3 ，t∈[a- 1 3 ， 1 2 ]

，由分段函數(shù)的值域得答案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出M（a）的最大值，判斷最大值與2的大小關(guān)系得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵x∈[0，24]，∴

π

32

x∈[0，

3π

4

]，
∴sin（

πx

32

）∈[0，1]，故t∈[0，

1

2

]；
∵a∈[0，1]，∴-

1

3

≤a-

1

3

≤

1

6

＜

1

2

，
∴f（t）=|t-（a-

1

3

）|+2a=

-t+3a- 1 3 ，t∈[0，a- 1 3 ] t+a+ 1 3 ，t∈[a- 1 3 ， 1 2 ]

，
當(dāng)t∈[0，a-

1

3

]時(shí)，f（t）_max=f（0）=3a-

1

3

；
當(dāng)t∈[a-

1

3

，

1

2

]，f（t）_max=f（

1

2

）=

5

6

+a．
而f（0）-f（

1

2

）=2a-

7

6

，
當(dāng)0≤a≤

7

12

，f（0）≤f（

1

2

），M（a）=f（

1

2

）=

5

6

+a；
當(dāng)

7

12

＜a≤1，f（0）＞f（

1

2

），M（a）=f（0）=3a-

1

3

．
∴M（a）=

5 6 +a，a∈[0， 7 12 ] 3a- 1 3 ，a∈[ 7 12 ，1]

，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，M（a）的最大值為

8

3

，它大于2，
∴目前市中心的綜合污染指數(shù)已經(jīng)超標(biāo)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求函數(shù)解析式，考查了三角函數(shù)最值的求法，關(guān)鍵是對(duì)題意的理解，是中檔題．