Question

14．在一次抽獎活動中，有甲、乙等6人獲得抽獎的機(jī)會．抽獎規(guī)則如下：主辦方先從6人中隨機(jī)抽取兩人均獲獎1000元，再從余下的4人中隨機(jī)抽取1人獲獎600元，最后還從這4人中隨機(jī)抽取1人獲獎400元．
（1）求甲和乙都不獲獎的概率；
（2）設(shè)X是甲獲獎的金額，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)“甲和乙都不獲獎”為事件A，由相互獨立事件概率乘法公式能求出甲和乙都不獲獎的概率．
（2）X的所有可能的取值為0，400，600，1000，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 （滿分12分）
解：（1）設(shè)“甲和乙都不獲獎”為事件A，…（1分）
則P（A）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}•\frac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{4}^{1}}•\frac{{C}_{2}^{1}}{{C}_{4}^{1}}$=$\frac{1}{10}$，
∴甲和乙都不獲獎的概率為$\frac{1}{10}$．…（5分）
（2）X的所有可能的取值為0，400，600，1000，…（6分）
P（X=0）=$\frac{3}{8}$，
P（X=400）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$•$\frac{3}{4}•\frac{1}{4}$=$\frac{1}{8}$，
P（X=600）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{6}^{2}}•\frac{1}{4}•\frac{3}{4}$=$\frac{1}{8}$，
P（X=1000）=$\frac{{C}_{5}^{1}}{{C}_{6}^{2}}+\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{6}^{2}}•\frac{1}{4}•\frac{1}{4}$=$\frac{3}{8}$，…（10分）
∴X的分布列為

X	0	400	600	1000
P	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$

（11分）
∴E（X）=$0×\frac{3}{8}+400×\frac{1}{8}+600×\frac{1}{8}+1000×\frac{3}{8}$=500．…（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．