如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=，設(shè)PC與AD的夾角為θ．
（1）求點A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大��；當平面ABCD內(nèi)有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點Q的軌跡方程．

【答案】分析：（1）以A為坐標原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標系，進而可求面PBD的一個法向量，利用點A到平面PBD的距離公式求解；
（2）根據(jù)cosθ=，故先求相應(yīng)的向量，從而可求異面直線PC與AD所成角．要使平面ABCD內(nèi)有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，故由從而可得軌跡方程．
解答：解：（1）以A為坐標原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標系
，設(shè)面PBD的法向量為，則，得面PBD的一個法向量為，
所以點A到平面PBD的距離…（7分）
（2）P（0，0，2）、C（2 ，2，0），則有 =（2 ，2，-2），又 =（0，1，0）
則異面直線PC與AD所成角θ滿足cosθ==，
所以，異面直線PC與AD所成角的大小為60°
設(shè)Q（x，y，0），則
∴
化解得3y2-x2=4…（14分）
點評：本題以四棱錐為載體，考查點面距離，考查線線角，考查軌跡問題，關(guān)鍵是建立空間直角坐標系．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設(shè)PC與AD的夾角為θ．
（1）求點A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大小；當平面ABCD內(nèi)有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點Q的軌跡方程．

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