【題目】已知橢圓的右焦點為,上頂點為,直線與直線垂直,橢圓經(jīng)過點

(1)求橢圓的標準方程;

(2)過點作橢圓的兩條互相垂直的弦.若弦的中點分別為,證明:直線恒過定點.

【答案】(1);(2)直線經(jīng)過定點.

【解析】試題分析:

(1)根據(jù)直線與直線垂直可得,從而得到,再由點在橢圓上可求得,即可得橢圓的方程.(2)當直線的斜率都存在時,設的方程為,與橢圓方程聯(lián)立消元后根據(jù)根據(jù)系數(shù)的關系可得點的坐標,同理可得點坐標,從而可得直線的方程,通過此方程可得直線過定點.然后再驗證當直線的斜率不存在時也過該定點.

試題解析

(1)因為直線與直線垂直,

所以為坐標原點),

,

所以

因為點在橢圓上,所以,

,解得

所以橢圓的標準方程為

(2)①當直線的斜率都存在時,

設直線的方程為

則直線的方程為,

消去x整理得,

,

,

由中點坐標公式得

代替點M坐標中的可得

所以直線的方程為

,得

所以直線經(jīng)過定點

②當直線的斜率不存在時,可知直線軸,也經(jīng)過定點

綜上所述,直線經(jīng)過定點

練習冊系列答案
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A. B. C. D.

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